[论文解读] Realizations of simple affine vertex algebras and their modules: the cases $\widehat{sl(2)}$ and $\widehat{osp(1,2)}$

Dražen Adamović|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 56被引用 13

一句话总结

该论文在非整数非负水平 $k \notin \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 下，将简单仿射顶点代数 $V_k(\text{sl}(2))$ 和 $V_k(\text{osp}(1,2))$ 实现为极小维拉索罗、$N=1$ 内弗-施瓦茨以及格点顶点代数张量积中的子代数。利用这些嵌入，构造了权重、惠特aker、对数及广义最高权模的族，并通过特征标公式验证与模分解，证明了 $V_k(\text{sl}(2))$ 的退化惠特aker模的分类与不可约性。

ABSTRACT

We study embeddings of the simple admissible affine vertex algebras $V_k(sl(2))$ and $V_k(osp(1,2))$, $k otin {\Bbb Z}_{\ge 0}$, into the tensor product of rational Virasoro and $N=1$ Neveu-Schwarz vertex algebra with lattice vertex algebras. We prove that the admissible affine vertex algebra $V_k(sl(2))$ can be embedded into vertex algebra $L^{Vir} (c_{p,p'}, 0) \otimes Π(0)$ where $L^{Vir} (c_{p,p'}, 0) $ is suitable minimal Virasoro vertex algebra and $Π(0)$ is a vertex algebra of lattice type. By using these realizations we construct a family of weight, logarithmic and Whittaker $\widehat{sl(2)}$ and $\widehat{osp(1,2)}$--modules. As an application, we construct all irreducible degenerate Whittaker modules for $V_k(sl(2))$.

研究动机与目标

• 将简单仿射顶点代数 $V_k(\text{sl}(2))$ 和 $V_k(\text{osp}(1,2))$ 在允许水平下显式实现为包含维拉索罗、$N=1$ 内弗-施瓦茨及格点顶点代数的张量积的子代数。
• 为这些代数提供对数、惠特aker及广义最高权模的顶点代数构造。
• 利用实现的结构，对 $V_k(\text{sl}(2))$ 的退化惠特aker模进行分类并证明其不可约性。
• 将实现框架扩展至 $\text{osp}(1,2)$，并建立 $\widehat{osp(1,2)}$-模的特征标公式。

提出的方法

• 对于 $k+2 = p/p'$，$p,p' \geq 2$，$(p,p')=1$，通过非平凡同态 $\Phi_1: V_k(\text{sl}(2)) \to L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},0) \otimes \Pi(0)$ 嵌入 $V_k(\text{sl}(2))$。
• 对于 $k+3/2 = p/(2q)$，$p,q \geq 2$，$(\frac{p-q}{2},q)=1$，将 $V_k(\text{osp}(1,2))$ 实现为 $L^{\text{ns}}(c_{p,q},0) \otimes F \otimes \Pi^{1/2}(0)$ 的子代数。
• 利用海森堡与费米子顶点代数结构，构造 $\Pi(0)$-模的权重与惠特aker模。
• 通过已知的特征标公式，将广义最高权 $V_k(\text{sl}(2))$-模实现为 $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_{-1}(\lambda)$。
• 利用筛选算子与模分解，构造对数 $V_k(\text{sl}(2))$-模。
• 通过特征标匹配与 $V_k(\text{sl}(2))$-模同构，证明惠特aker与广义模的不可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在极小维拉索罗、$N=1$ 内弗-施瓦茨及格点顶点代数的张量积中，将允许水平下的简单仿射顶点代数 $V_k(\text{sl}(2))$ 和 $V_k(\text{osp}(1,2))$ 实现为子代数？
• RQ2 通过此类实现，$V_k(\text{sl}(2))$ 和 $V_k(\text{osp}(1,2))$ 的惠特aker、对数及广义最高权模的结构是什么？
• RQ3 能否从实现 $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_{-1}(\lambda)$ 恢复不可约广义最高权 $V_k(\text{sl}(2))$-模的特征标公式？
• RQ4 为 $V_k(\text{sl}(2))$ 构造的惠特aker模是否为退化且不可约，且是否完整地完成了 $A_1^{(1)}$-惠特aker模的分类？
• RQ5 能否将实现框架扩展至 $\text{osp}(1,2)$，并用于构造与分类具有已知特征标公式的 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-加权模？

主要发现

• 对于 $k+2 = p/p'$，$p,p' \geq 2$，$(p,p')=1$，存在非平凡同态 $\Phi_1: V_k(\text{sl}(2)) \to L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},0) \otimes \Pi(0)$，确立了顶点代数实现。
• 所有广义最高权 $V_k(\text{sl}(2))$-模均实现为 $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_{-1}(\lambda)$，其特征标与 Creutzig-Ridout 公式一致。
• $V_k(\text{sl}(2))$ 的退化惠特aker模实现为 $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_\lambda$，完整完成了 $A_1^{(1)}$-惠特aker模的分类。
• 通过对实现的张量积结构作用筛选算子，构造了对数 $V_k(\text{sl}(2))$-模。
• $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-加权不可约 $V_k(\text{osp}(1,2))$-模 $\mathcal{F}^\lambda$ 实现为 $L^{\text{Vir}}(d_{3,4},\frac{1}{16}) \otimes \Pi_{-1}^{1/2}(\lambda)$，其特征标为 $z^{2\lambda-k}\frac{f_2(\tau)\delta(z)}{\sqrt{2}\eta(\tau)^2}$。
• $V_k(\text{osp}(1,2))$-模 $M^\pm \otimes \Pi_\lambda$ 是不可约的，通过其与不可约 $V_k(\text{sl}(2))$-模的同构关系得证。