[论文解读] Recent advances on the log-rank conjecture in communication complexity

Shachar Lovett|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用 4

一句话总结

本综述回顾了通信复杂性中对对数秩猜想的最新进展，重点讨论布尔函数确定性通信复杂性的改进上界。它提出一个关键结果：确定性通信复杂度至多为 $ O(√{\mathrm{rank}(f)} \cdot \log \mathrm{rank}(f)) $，显著优于以往的上界，并揭示了与歧离度、随机化协议以及矩阵刚性之间的新联系。

ABSTRACT

The log-rank conjecture is one of the fundamental open problems in communication complexity. It speculates that the deterministic communication complexity of any two-party function is equal to the log of the rank of its associated matrix, up to polynomial factors. Despite much research, we still know very little about this conjecture. Recently, there has been renewed interest in this conjecture and its relations to other fundamental problems in complexity theory. This survey describes some of the recent progress, and hints at potential directions for future research.

研究动机与目标

• 总结对数秩猜想这一通信复杂性领域核心开放问题的最新进展。
• 探索对数秩猜想与其他复杂性理论问题（包括随机化和量子协议）之间的联系。
• 研究低秩矩阵的结构性质，特别是稀疏矩阵及其对矩阵刚性的影响。
• 基于歧离度、信息成本和零通信协议，提出新的研究方向。

提出的方法

• 通过其通信矩阵的秩分析布尔函数的确定性通信复杂度。
• 应用歧离度理论，推导通信复杂度的改进上界。
• 利用随机化协议与确定性协议之间的关系，将复杂度降低多项式对数因子。
• 提出并分析关于稀疏低秩矩阵中存在大零矩形的猜想6.3。
• 从猜想6.3推导出矩阵刚性的下界，使现有构造的性能提升了一个对数因子。
• 建立对数秩猜想对量子协议和信息成本的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何布尔函数的确定性通信复杂度是否可被界定为 $ O(\sqrt{\mathrm{rank}(f)} \cdot \log \mathrm{rank}(f)) $？
• RQ2 每个非零元较少的低秩矩阵是否都包含一个大零矩形？
• RQ3 高效的随机化或零通信协议是否能推出低秩函数的高效确定性协议？
• RQ4 对于近似秩为 $ r $ 的函数，随机化协议的对数秩猜想是否也成立，即复杂度被 $ \sqrt{r} \cdot \mathrm{poly}\log r $ 所界定？
• RQ5 低秩函数的量子协议是否能通过仅具有对数多项式开销的确定性协议来模拟？

主要发现

• 任何布尔函数 $ f $ 的确定性通信复杂度至多为 $ O(\sqrt{\mathrm{rank}(f)} \cdot \log \mathrm{rank}(f)) $，优于此前的 $ O(\mathrm{rank}(f)/\log \mathrm{rank}(f)) $ 上界。
• 若在 $ \mathbb{F}_2^n $ 上多项式弗雷曼-鲁扎猜想成立，则 $ \mathrm{CC}^{\mathrm{det}}(f) \leq O(\mathrm{rank}(f)/\log \mathrm{rank}(f)) $。
• 复杂度为 $ c $ 的随机化协议意味着复杂度为 $ O(c \cdot \log^2(\mathrm{rank}(f))) $ 的确定性协议，从而建立了随机化与确定性模型之间的联系。
• 猜想6.3表明，任意 $ n \times n $ 秩为 $ r $ 且非零元不超过 $ \varepsilon n^2 $ 的矩阵，其两个维度上均包含大小为 $ \Omega(n \cdot \exp(-O(\sqrt{\varepsilon r}))) $ 的零矩形。
• 假设猜想6.3成立，则存在一个显式构造的 $ n \times n $ 矩阵，其为 $ (r,s) $-刚性，且满足 $ s = \Omega(n^2 / (r \log^2(n/r))) $，相比以往构造提升了对数因子。
• 对随机化协议的对数秩猜想可通过证明近似秩为 $ r $ 的函数允许复杂度为 $ \sqrt{r} \cdot \mathrm{poly}\log r $ 的随机化协议来逼近。