研究动机与目标

提出的方法

利用杨-米勒泛函 $ E_{g_0}(u) $ 的变分特征，通过在正光滑函数上最小化该泛函，以寻找杨-米勒方程的解。
在三维至五维中应用正质量定理，构造能量低于 $ Y(S^n) $ 的测试函数，从而确保极小化器的存在。
通过杨-米勒流 $ g(t) $ 的抛物型流方法，证明通过控制数量曲率波动的 $ L^2 $-范数，可使流收敛至常数量曲率度量。
引入一种改进的能量估计，涉及 $ \int_0^\infty \|R_{g(\tau)} - r_{g(\tau)}\|_{L^2} \, d\tau < \infty $，以排除体积集中现象。
通过将阿贝因方法推广至高维，构造测试函数，确保当 $ \mathcal{Z} = \emptyset $ 或 $ M $ 为旋流形时，$ E_{g_0}(u) < Y(S^n) $。
利用常微分方程比较引理，推导出数量曲率波动的衰减估计，从而实现对共形因子 $ u(t) $ 的一致有界性。

对于紧致流形，若初始度量不共形等价于标准球面，则在维度 $ 3 \leq n \leq 5 $ 下，杨-米勒流收敛至常数量曲率度量。
在 $ n \geq 6 $ 时，若 $ \mathcal{Z} = \emptyset $ 或 $ M $ 为旋流形，其中 $ \mathcal{Z} $ 为威爾张量衰减足够快的点集，则杨-米勒流收敛至常数量曲率度量。
数量曲率波动 $ R_{g(t)} - r_{g(t)} $ 的 $ L^2 $-范数随时间衰减，且满足 $ \int_0^\infty \|R_{g(\tau)} - r_{g(\tau)}\|_{L^2} \, d\tau < \infty $，表明对共形因子具有统一控制。
通过测地球体积的统一有界性排除了体积集中现象，确保对所有 $ t \geq 0 $ 和 $ p \in M $，有 $ \text{vol}(B_r(p), g(t)) \leq \eta $，其中 $ r > 0 $。
当 $ Y(M, g_0) \leq 0 $ 时，杨-米勒问题的解在缩放意义下唯一；但当 $ Y(M, g_0) > 0 $ 时，解不唯一，且在小扰动下可能有任意多个解。
收敛性证明依赖于构造能量低于 $ Y(S^n) $ 的测试函数，非平坦情形下利用威爾张量，低维情形下利用正质量定理。