[论文解读] Reciprocity sheaves and abelian ramification theory

Kay Rülling, Shuji Saito|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文利用模动机理论中的范畴框架，为具有转移的预层引入了一个动机型导子，为具有几何类型的赫斯曼离散赋值域 L 建立了 F(L) 上的滤子。该导子统一并推广了经典导子——罗森利希特-塞雷导子、阿廷导子与奇异性导子，同时为基域上有限平坦群概形的主从丛引入了一种新型导子。

ABSTRACT

We define a motivic conductor for any presheaf with transfers $F$ using the categorical framework developed for the theory of motives with modulus by Kahn-Miyazaki-Saito-Yamazaki. If $F$ is a reciprocity sheaf this conductor yields an increasing and exhaustive filtration on $F(L)$, where $L$ is any henselian discrete valuation field of geometric type over the perfect ground field. We show if $F$ is a smooth group scheme, then the motivic conductor extends the Rosenlicht-Serre conductor; if $F$ assigns to $X$ the group of finite characters on the abelianized etale fundamental group of $X$, then the motivic conductor agrees with the Artin conductor defined by Kato-Matsuda; if $F$ assigns to $X$ the group of integrable rank one connections (in characteristic zero), then it agrees with the irregularity. We also show that this machinery gives rise to a conductor for torsors under finite flat group schemes over the base field, which we believe to be new. We introduce a general notion of conductors on presheaves with transfers and show that on a reciprocity sheaf the motivic conductor is minimal and any conductor which is defined only for henselian discrete valuation fields of geometric type with {\em perfect} residue field can be uniquely extended to all such fields without any restriction on the residue field. For example the Kato-Matsuda Artin conductor is characterized as the canonical extension of the classical Artin conductor defined in the perfect residue field case.

研究动机与目标

• 利用模动机理论中的范畴框架，为具有转移的预层定义动机型导子。
• 证明对于互惠层，该导子在具有几何类型的赫斯曼离散赋值域 L 上诱导出 F(L) 上的一个递增且充分的滤子。
• 在单一动机框架下统一并推广经典导子——罗森利希特-塞雷导子、阿廷导子与奇异性导子。
• 为基域上有限平坦群概形的主从丛引入一种新型导子。
• 证明任何在余域为完美域的赫斯曼离散赋值域上定义的导子，均可唯一地延拓至所有此类域，无论余域是否完美。

提出的方法

• 利用 Kahn-Miyazaki-Saito-Yamazaki 开发的模动机理论中的范畴框架，定义动机型导子。
• 应用互惠层理论，确保导子在 F(L) 上产生一个良好定义的、递增且充分的滤子。
• 利用在完美基域上具有几何类型的赫斯曼离散赋值域的结构，分析导子的行为。
• 建立动机型导子与已知不变量的相容性：光滑群概形的罗森利希特-塞雷导子、阿贝良化 étale 基本群的阿廷导子，以及秩一可积联络的奇异性。
• 利用唯一延拓性，证明在余域为完美域的域上定义的导子可自然地延拓至任意余域。
• 为具有转移的预层引入导子的一般概念，并证明在互惠层上，动机型导子是最小的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用模动机理论的框架，为具有转移的预层定义统一的动机型导子？
• RQ2 动机型导子在何种意义上推广了罗森利希特-塞雷导子、阿廷导子与奇异性导子？
• RQ3 能否为有限平坦群概形的主从丛定义一种新型导子？其在互惠层语境下是否具有意义？
• RQ4 在余域为完美域的域上定义的导子与在余域为任意域的域上定义的导子之间存在何种关系？
• RQ5 动机型导子是否为所有可能导子中在互惠层上最小的？

主要发现

• 动机型导子为任意互惠层 F 与具有几何类型的赫斯曼离散赋值域 L 提供了自然的、递增的且充分的 F(L) 滤子。
• 对于光滑群概形，动机型导子与经典的罗森利希特-塞雷导子一致。
• 对于阿贝良化 étale 基本群上的有限特征标群，动机型导子与 Kato-Matsuda 阿廷导子一致。
• 在特征零情形下，对于可积秩一联络，动机型导子与奇异性不变量一致。
• 为有限平坦群概形的主从丛引入了一种新型导子，其在动机框架内被证明是良好定义且一致的。
• 任何在余域为完美域的赫斯曼离散赋值域上定义的导子均可唯一地延拓至所有此类域，且 Kato-Matsuda 阿廷导子被表征为经典阿廷导子的自然延拓。