[论文解读] Reduced-Order Nonlinear Observers via Contraction Analysis and Convex Optimization

Bowen Yi, Ruigang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于微分收缩分析与凸优化的新型全局收敛降阶非线性观测器设计方法。通过坐标变换将系统动力学转化为收缩形式，作者推导出可验证的微分不等式，从而实现系统化、计算高效的观测器设计，该方法通过离线凸优化完成，适用于多种非线性系统，包括机械系统、生化系统和机电系统。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new approach to design globally convergent reduced-order observers for nonlinear control systems via contraction analysis and convex optimization. Despite the fact that contraction is a concept naturally suitable for state estimation, the existing solutions are either local or relatively conservative when applying to physical systems. To address this, we show that this problem can be translated into an off-line search for a coordinate transformation after which the dynamics is (transversely) contracting. The obtained sufficient condition consists of some easily verifiable differential inequalities, which, on one hand, identify a very general class of "detectable" nonlinear systems, and on the other hand, can be expressed as computationally efficient convex optimization, making the design procedure more systematic. Connections with some well-established approaches and concepts are also clarified in the paper. Finally, we illustrate the proposed method with several numerical and physical examples, including polynomial, mechanical, electromechanical and biochemical systems.

研究动机与目标

• 开发一种系统化、全局收敛的非线性控制系统观测器设计方法，以克服现有局部或保守方法的局限性。
• 将横截收缩的充分条件转化为计算上可处理的凸优化问题。
• 将基于收缩的观测器设计方法扩展至广泛类别的非线性系统，包括多项式系统、机械系统和生化系统。
• 提供一种构造性框架，避免在线非凸优化，从而支持实时实现。

提出的方法

• 该方法采用坐标变换，将原始系统转换为相对于输出函数具有横截收缩动力学的形式。
• 通过正半定黎曼度量 $ W(\chi) = \Psi(\chi)P(\chi)\Psi^\top(\chi) $ 定义微分李雅普诺夫函数，确保微分状态的指数收敛。
• 横截收缩的充分条件被表述为矩阵不等式：$ \partial_f W + \left(\frac{\partial f}{\partial \chi}\right)^\top W + W \frac{\partial f}{\partial \chi} \prec 0 $，该不等式在优化变量中为凸。
• 观测器设计被建模为离线凸优化问题，从而实现高效计算与实时实现。
• 该方法利用映射 $ \psi(\chi) = \int_0^1 \Psi(s\chi)^\top \chi \, ds $ 的单射性，确保能从观测器输出重构状态。
• 该框架在多个物理系统上得到验证，包括机械系统、机电系统和生化系统，展示了全局收敛性与鲁棒性。

Figure 1: Simulation results of the polynomial system ( 48 )

实验结果

研究问题

• RQ1 微分收缩分析能否系统性地应用于设计非线性系统的全局收敛降阶观测器？
• RQ2 是否可以将横截收缩的充分条件表达为凸优化问题，以实现高效计算？
• RQ3 与高增益观测器或KKL观测器等现有框架相比，该方法所识别的可检测非线性系统类别的通用性如何？
• RQ4 坐标变换在实现全局收敛及简化观测器设计过程中的作用是什么？
• RQ5 该方法能否避免如KKL观测器所需的在线非凸优化，从而支持实时实现？

主要发现

• 所提方法通过在坐标变换下确保系统具有横截收缩性，从而保证观测器误差动态的全局收敛。
• 横截收缩的充分条件被表达为凸矩阵不等式，可通过凸优化实现高效离线计算。
• 该方法适用于广泛类别的非线性系统，包括多项式系统、机械系统、机电系统和生化系统，已在数值与物理实例中得到验证。
• 观测器设计避免了在线非凸优化，与KKL观测器不同，因此适用于实时实现。
• 收敛速率通过微分李雅普诺夫函数 $ V(\chi, \delta\chi) = \delta\chi^\top W(\chi) \delta\chi $ 的衰减来量化，该函数呈指数趋于零。
• 该框架建立了收缩分析与观测器设计之间的清晰联系，阐明了其与可检测性、增量稳定性等既有概念的关联。

Figure 2: The unmeasured states and their estimates from the proposed observer ( 50 ) and the structure preserving observer in [ 45 ] , which is a local design, for the MagLev model ( 49 )