[论文解读] Reductions of Dynamics on Second Iterated Bundles of Lie Groups

Oùgul Esen, Hasan Gümral|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文提出了一套系统框架，用于在李群的二重迭代丛上研究哈密顿和拉格朗日动力学，采用第一类平凡化方法，以保持提升的群结构。通过在 $^{1}TT^*G$、$^{1}T^*TG$ 和 $^{1}T^*T^*G$ 等空间上进行辛和泊松约化，推导出约化的动力学方程——包括欧拉-庞加莱方程和李-泊松方程——从而实现对李群丛上高阶动力学与辛结构的统一处理。

ABSTRACT

We consider trivializations of second iterated bundles of a Lie group that preserve lifted group structures. With such a trivialization, we elaborate Hamiltonian dynamics on cotangent, Lagrangian dynamics on tangent bundles and, both Hamiltonian and Lagrangian dynamics on Tulczyjew's symplectic space which is tangent of cotangent bundle of Lie group. We present all possible Poisson, symplectic and Lagrangian reductions of spaces and corresponding dynamics on them. In particular, reduction of Lagrangian dynamics on second iterated tangent bundle includes reduction of dynamics on second order tangent bundle.

研究动机与目标

• 开发一种一致的框架，用于在李群的二重迭代丛上以保持半直积和群结构的平凡化方法，研究哈密顿和拉格朗日动力学。
• 通过辛和泊松约化，在李群的切丛和余切丛上推导出约化的动力学——特别是欧拉-庞加莱方程和李-泊松方程。
• 通过 $^{1}TTG$ 和 $^{1}TT^*G$ 上的平凡化结构，统一处理 $T^2G$ 上的高阶动力学，包括二阶欧拉-拉格朗日方程。
• 阐明图奇茨基夫在 $^{1}TT^*G$ 上的辛结构在支持哈密顿和拉格朗日动力学方面的作用，以及其群作用对称性所导致的多种约化路径。
• 将约化技术推广至具有提升结构的迭代丛上的高阶辛和拉格朗日系统，利用群作用和提升结构。

提出的方法

• 利用第一类平凡化方法，将 $TG$ 和 $T^*G$ 识别为半直积 $G\circledS\mathfrak{g}$ 和 $G\circledS\mathfrak{g}^*$，以保持群结构和李代数结构。
• 将迭代丛 $T(G\circledS\mathfrak{g})$、$T(G\circledS\mathfrak{g}^*)$、$T^*(G\circledS\mathfrak{g})$ 和 $T^*(G\circledS\mathfrak{g}^*)$ 平凡化为与李代数及其对偶的半直积。
• 利用典范辛形式和群作用，在 $^{1}TTG$、$^{1}TT^*G$、$^{1}T^*TG$ 和 $^{1}T^*T^*G$ 上推导出平凡化的欧拉-拉格朗日方程和哈密顿方程。
• 通过 $G$、$\mathfrak{g}$ 及其半直积的群作用实施辛和泊松约化，得到商空间上的约化动力学。
• 利用图奇茨基夫在 $^{1}TT^*G$ 上的辛结构，结合两个可能的微分形式 $\theta_1$ 和 $\theta_2$，定义哈密顿动力学并推导出约化方程。
• 通过浸入映射 $T^2G \to TTG$，在 $G\circledS(\mathfrak{g}\times\mathfrak{g})$ 上定义二阶欧拉-拉格朗日方程，在 $2\mathfrak{g}$ 上定义二阶欧拉-庞加莱方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过保持提升群结构的平凡化方法，在李群的二重迭代丛上一致地表述哈密顿和拉格朗日动力学？
• RQ2 通过辛和泊松约化，在 $^{1}TT^*G$、$^{1}T^*TG$ 和 $^{1}T^*T^*G$ 上的约化动力学——特别是欧拉-庞加莱方程和李-泊松方程——是什么？
• RQ3 图奇茨基夫在 $^{1}TT^*G$ 上的辛结构如何支持哈密顿和拉格朗日动力学？其群作用对称性导致了哪些约化？
• RQ4 在 $T^2G$ 上的二阶动力学与在 $^{1}TTG$ 和 $^{1}TT^*G$ 上的平凡化动力学之间存在何种关系？
• RQ5 该框架能否推广至具有提升辛结构的辛流形的切丛的辛约化？

主要发现

• 在 $^{1}TTG \simeq (G\circledS\mathfrak{g})\circledS(\mathfrak{g}\circledS\mathfrak{g})$ 上的平凡化欧拉-拉格朗日方程，通过嵌入到 $TTG$ 中，可导出 $T^2G$ 上的二阶动力学。
• 在 $G$-作用下对 $^{1}TT^*G$ 上的动力学进行约化，得到泊松约化空间 $\mathfrak{g}\circledS(\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g}^*)$，其辛叶为 $\mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}^*$。
• 在 $^{1}T^*TG$ 上的哈密顿方程导出一个在 $\mathfrak{g}\circledS(\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g}^*)$ 上的李-泊松结构，其不同于 $\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g}^*$ 上的乘积泊松结构。
• 在 $^{1}T^*T^*G$ 上，通过 $G\circledS\mathfrak{g}^*$ 的辛约化，得到在 $\mathfrak{g}^*\circledS(\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g})$ 上的李-泊松结构，其辛叶为 $\mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}^*$。
• 在 $^{1}TT^*G$ 上的哈密顿动力学，采用图奇茨基夫的辛形式，允许两个可能的微分形式 $\theta_1$ 和 $\theta_2$，从而实现动力学的双重表述。
• 通过 $G$、$\mathfrak{g}_1^*$ 和 $G\circledS\mathfrak{g}_1^*$ 对 $^{1}TT^*G$ 上的拉格朗日约化，分别在 $\mathfrak{g}_1^*\circledS(\mathfrak{g}_2\times\mathfrak{g}_3^*)$、$G\circledS(\mathfrak{g}_2\times\mathfrak{g}_3^*)$ 和 $\mathfrak{g}_2\circledS\mathfrak{g}_3^*$ 上得到约化方程。