[论文解读] Reflection identities of harmonic sums up to weight three

Alex Prygarin|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Mathematical functions and polynomials参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文推导出权重至三的调和和的新反射恒等式，使具有混合极点结构的表达式中实现极点分离成为可能——这对分析 $\mathcal{N}=4$ SYM 中 BFKL 方程的本征值结构至关重要。这些恒等式将诸如 $S_a(z)S_b(-1-z)$ 的乘积表示为其他调和和的线性组合，从而在复平面上的计算中实现解析延拓与函数简化。

ABSTRACT

We discuss reflections identities of harmonic sums up to weight three. The need for this kind of identities emerges in analysis of the general structure of eigenvalue of the BFKL equation. The reflection identities decompose a product of two harmonic sums with pole singularities at real integer points into a linear combination of other functions with pole singularities at either negative integers or zero and positive integers. This provides a pole separation of expressions with a mixed pole structure.

研究动机与目标

• 推导权重二和三的调和和的反射恒等式，以解决 BFKL 本征值计算中对极点结构分离的需求。
• 实现具有混合极点奇异性调和和乘积的分解，使极点在负整数、零或正整数处分离。
• 在 $\mathcal{N}=4$ 超杨–米尔斯理论中 BFKL 方程本征值结构的背景下，支持解的函数基。
• 提供一种系统化方法，通过解析延拓将双线性和三线性调和和乘积表示为反射变量的形式。
• 为超对称量子场论中高圈阶计算的未来应用奠定基础。

提出的方法

• 利用 J. Ablinger 的 Harmonic Sums 包和 D. Maitre 的 HPL 包进行调和和的符号计算。
• 基于从偶数整数值出发的 Mellin 变换解析延拓，在正负整数点附近执行极点展开。
• 根据 Ablinger 的论文，构建具有相关权重常数的纯调和和的函数基。
• 在每个权重下比较不可约常数的系数，推导出反射恒等式，并通过高阶展开进行交叉验证。
• 通过与杂交关系对比以及在复平面上对调和和的数值评估，验证恒等式。
• 使用自定义的 Mathematica 包进行 Pomeron NNLO 本征值计算，以指导并验证推导过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具有混合极点结构的调和和乘积分解为在负整数、零或正整数处极点分离的函数？
• RQ2 权重三的调和和的显式反射恒等式是什么，且满足 $f(z)g(-1-z) = F(z) + G(-1-z)$？
• RQ3 这些恒等式如何与调和和代数中的已知杂交和倍乘恒等式相关联？
• RQ4 能否通过解析延拓和系数匹配，系统地推导出更高权重调和和的反射恒等式？
• RQ5 这些恒等式在简化 $\mathcal{N}=4$ SYM 中 BFKL 本征值表达式的解析结构方面起什么作用？

主要发现

• 本文首次给出了权重三调和和的三线性反射恒等式完整集合，此前尚不为人所知。
• 所有权重三的三线性恒等式均通过将推导出的恒等式进行变换 $z \leftrightarrow -1-z$ 得到。
• 权重二的双线性反射恒等式与已知结果一致，作为方法一致性的验证。
• 这些恒等式成功地将如 $S_1(z)S_{-1}(-1-z)$ 的乘积分解为包含 $S_{-1}(z)$、$S_1(-1-z)$、$S_2(z)$、$S_2(-1-z)$ 和对数常数的线性组合。
• 具体恒等式，如 $S_1(z)S_1(-1-z) = 3\zeta(3) + \frac{1}{6}\pi^2 S_1(-1-z) + \frac{1}{2}\pi^2 S_1(z) - S_{1,2}(z) - S_{2,1}(-1-z) - 2S_{2,1}(z) + 2S_{1,1,1}(-1-z) + 4S_{1,1,1}(z)$，已被显式推导并验证。
• 推导过程仅限于从偶数整数 $n$ 出发的解析延拓，奇数整数的延拓留待未来工作。