[论文解读] Regularity of fully non-linear elliptic equations on Hermitian manifolds. II

Rirong Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 74被引用 5

一句话总结

本文在全非线性椭圆方程的梯度项作用下，于殆凯勒流形上建立了精确的二阶先验估计与可解性结果，包括针对 $(n-1)$-多重次调和函数的蒙日-安培方程。通过引入一种新颖的定量边界估计，并在乘积流形上构造下解，本文在边界与数据的正则性假设减弱的条件下，证明了梯度估计与存在性定理，揭示了边界几何如何影响正则性条件。

ABSTRACT

In this paper we investigate the regularity and solvability of solutions to Dirichlet problem for fully non-linear elliptic equations with gradient terms on Hermitian manifolds, which include among others the Monge-Ampère equation for $(n-1)$-plurisubharmonic functions. Some significantly new features of regularity assumptions on the boundary and boundary data are obtained, which reveal how the shape of the boundary influences such regularity assumptions. Such new features follow from quantitative boundary estimates which specifically enable us to apply a blow-up argument to derive the gradient estimate. Interestingly, the subsolutions are constructed when the background space is moreover a product of a closed Hermitian manifold with a compact Riemann surface with boundary.

研究动机与目标

• 在殆凯勒流形上，为带有梯度项的全非线性椭圆方程建立二阶先验估计。
• 在边界与边界数据的正则性假设减弱的条件下，研究狄利克雷问题的可解性。
• 分析边界几何如何影响解所需正则性条件。
• 在乘积流形 $X \times S$ 上构造下解，其中 $X$ 为紧致殆凯勒流形，$S$ 为带有边界的紧致黎曼曲面，以支持爆破论证的应用。
• 将结果推广至 $(n-1)$-多重次调和函数的蒙日-安培方程及相关几何问题。

提出的方法

• 利用边界上的切向算子与曲率估计，推导出切向-法向导数的定量边界估计。
• 对定量边界估计应用爆破论证，以获得梯度估计，利用边界的结构与方程的强椭圆性。
• 通过利用因子的平衡结构及 $\mathcal{C}$-下解条件的存在性，在乘积流形 $X \times S$ 上构造下解。
• 利用 $\mathcal{C}$-下解的概念，其定义为：对所有 $i$，有 $\lim_{t\to\infty} f(\lambda(\underline{u}) + t e_i) > \psi$，以放松对边界的几何约束。
• 采用变形论证与特征值计数函数的连续性，分析大扰动下特征值的渐近行为。
• 应用连续性方法与先验估计，证明在给定条件下解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 边界几何如何影响全非线性椭圆方程在殆凯勒流形上解的正则性假设？
• RQ2 在正则性减弱的条件下，边界与边界数据需满足何种条件，才能保证梯度估计？
• RQ3 是否可在乘积流形 $X \times S$ 上构造下解，以促进梯度估计的爆破论证？
• RQ4 在保持狄利克雷问题可解性的前提下，边界与边界数据的正则性假设可被削弱到何种程度？
• RQ5 结果在何种程度上可推广至殆凯勒流形上 $(n-1)$-多重次调和函数的蒙日-安培方程？

主要发现

• 建立了一种新的切向-法向导数的定量边界估计，这是通过爆破法获得梯度估计的关键。
• 在边界与边界数据的正则性假设减弱的条件下，获得了梯度估计，揭示了边界的形状直接影响所需正则性。
• 成功在乘积流形 $X \times S$ 上构造了下解，其中 $X$ 为紧致殆凯勒流形，$S$ 为带有边界的紧致黎曼曲面，从而支持了爆破技术的应用。
• 本文证明了在 $\mathcal{C}$-下解条件下，即使边界正则性较低，全非线性椭圆方程的狄利克雷问题仍存在解。
• 对于 $(n-1)$-多重次调和函数的蒙日-安培方程，通过在具有平衡因子的乘积上构造下解，并在较弱正则性下证明存在性，将结果得以推广。
• 在给定条件下，弱解的唯一性得以确立，其依赖于 $\delta_{\psi,f}$ 的严格正性与下解条件。