[论文解读] Relative non-pluripolar products of currents

Duc‐Viet Vu|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文在紧致 Kähler 流形上引入了闭正当前的相对非极值积，通过引入参考当前 $T$ 对标准非极值积进行了推广。主要贡献包括相对积的单调性性质、以 Lelong 数表示的全质量相交必要条件，以及具有相对全质量相交的加权当前类的凸性——这些结果即使在 $T$ 为 $X$ 上积分当前的经典情形下，也扩展并强化了先前的工作。该框架依赖于有界 plurisubharmonic 函数的强拟连续性及混合 Monge-Ampère 算子的收敛性质。

ABSTRACT

Given a closed positive current T on a compact Kahler manifold X, we introduce the notion of non-pluripolar product relative to T of closed positive (1,1)-currents. We recover the well-known non-pluripolar product when T is the current of integration along X. Our main results are a monotonicity property of relative non-pluripolar products, a necessary condition for currents to be of relative full mass intersection in terms of Lelong numbers, and the convexity of weighted classes of currents of relative full mass intersection. The former two results are new even when T is the current of integration along X.

研究动机与目标

• 通过引入相对于参考当前 $T$ 的相对版本，推广当前的非极值积。
• 在上同调主导条件下，建立相对非极值积的单调性性质。
• 通过 Lelong 数条件刻画当前实现相对全质量相交的情形。
• 证明具有相对全质量相交的加权当前类的凸性。
• 将混合 Monge-Ampère 算子的收敛性与连续性结果推广至相对设定。

提出的方法

• 利用与 $T$ 相关的容量所诱导的有界 plurisubharmonic 函数的拟连续性，定义相对非极值积 $\langle T_1 \wedge \cdots \wedge T_m \dot{\wedge} T \rangle$。
• 证明关于 $T$ 的有界 psh 函数的统一拟连续性性质（定理 2.4），强于标准拟连续性。
• 将混合 Monge-Ampère 算子的收敛结果（定理 2.6）作为关键技术工具。
• 通过同一上同调类中当前的比较，建立相对积的单调性（定理 4.4）。
• 利用 Lelong 数刻画相对全质量相交（定理 4.12），表明在解析集 $V$ 上具有正的通用 Lelong 数意味着 $\dim V < n - p - m$。
• 证明在当前递减或递增序列下，加权类的连续性（定理 4.9 和命题 5.10），将 [4] 中的结果推广至相对设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将当前的非极值积推广至相对于参考当前 $T$ 的相对设定？
• RQ2 当当前被同调类中更小奇异性者替代时，相对非极值积的单调性性质为何成立？
• RQ3 Lelong 数在阻碍当前相对全质量相交中起什么作用？
• RQ4 具有相对全质量相交和给定权 $\chi$ 的当前类是否为凸集？
• RQ5 在当前递减或递增序列下，加权相对积的收敛性与连续性行为如何？

主要发现

• 对于任意闭正当前 $T_1,\ldots,T_m$（双次数为 $(1,1)$）及任意闭正当前 $T$，在紧致 Kähler 流形上，相对非极值积 $\langle T_1 \wedge \cdots \wedge T_m \dot{\wedge} T \rangle$ 是良定义的且为闭正当前。
• 单调性成立：若 $T_j'$ 在同一上同调类中比 $T_j$ 更小奇异性，则 $\{\langle T_1 \wedge \cdots \wedge T_m \dot{\wedge} T \rangle\} \leq \{\langle T_1' \wedge \cdots \wedge T_m' \dot{\wedge} T \rangle\}$，即使在 $T$ 为 $X$ 上积分当前时，此结果亦为新发现。
• 若 $T_1,\ldots,T_m$ 实现相对全质量相交且在不可约解析集 $V$ 上具有正的通用 Lelong 数，则 $\dim V < n - p - m$，其中 $p = \dim V_T$ 且 $m$ 为当前数量。
• 具有相对全质量相交的加权当前类是凸的，且加权积在当前递减或递增序列下连续（命题 5.10）。
• 当 $T_1,\ldots,T_m$ 的上同调类为 Kähler 时，相对全质量相交等价于上同调等式 $\{\langle \wedge T_j \dot{\wedge} T \rangle\} = \{\wedge \theta_j \wedge T\}$，其中 $\theta_j$ 为 $T_j$ 的光滑代表。
• 该框架统一并强化了先前结果：当 $T$ 为 $X$ 上的积分当前时，相对积恢复标准非极值积；关键技术工具（如强拟连续性与收敛定理）推广了文献中已知结果。