[论文解读] Relative Pro-$\ell$ Completions of Mapping Class Groups

Richard Hain, Makoto Matsumoto|ArXiv.org|Feb 6, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文引入了映射类群的相对 pro-ℓ 完备化作为经典 pro-ℓ 完备化的改进，证明当 genus g ≥ 3 时，扭结群的 pro-ℓ 完备化不单射地嵌入映射类群的相对 pro-ℓ 完备化中，且扭结群的 pro-ℓ 完备化在 genus g 曲面的 pro-ℓ 基本群上的作用不是忠实的。此外，本文还证明在适当变形下，Galois 表示在相对 pro-ℓ 完备化上在 ℓ 以外的素数上是无 ramification 的。

ABSTRACT

Fix a prime number ell. In this paper we develop the theory of relative pro-ell completion of discrete and profinite groups -- a natural generalization of the classical notion of pro-ell completion -- and show that the pro-ell completion of the Torelli group does not inject into the relative pro-ell completion of the corresponding mapping class group when the genus is at least 3. As an application, we prove that when g > 2, the action of the pro-ell completion of the Torelli group T_{g,1} on the pro-ell fundamental group of a pointed genus g surface is not faithful. The choice of a first-order deformation of a maximally degenerate stable curve of genus g determines an action of the absolute Galois group G_Q on the relative pro-ell completion of the corresponding mapping class group. We prove that for all g all such representations are unramified at all primes eq ell when the first order deformation is suitably chosen. This proof was communicated to us by Mochizuki and Tamagawa.

研究动机与目标

• 发展离散群与 p 进群的相对 pro-ℓ 完备化理论，作为经典 pro-ℓ 完备化的推广。
• 研究扭结群的 pro-ℓ 完备化是否单射地嵌入映射类群的相对 pro-ℓ 完备化中。
• 建立当 g ≥ 2 时，扭结群的 pro-ℓ 完备化在 genus g 曲面的 pro-ℓ 基本群上的作用不是忠实的。
• 证明在适当的一阶变形下，映射类群的相对 pro-ℓ 完备化上的 Galois 表示在不同于 ℓ 的素数上是无 ramification 的。
• 将关于幂零完备化与同余子群性质的结果推广到相对 pro-ℓ 设置中。

提出的方法

• 将群 Γ 关于连续满射同态 ρ: Γ → P（其中 P 为 p 进群）的相对 pro-ℓ 完备化 Γ^(ℓ),ρ 定义为所有连续满射同态 φ: Γ → Gφ 的逆极限，满足 ρφ: Gφ → P 且 ker(ρφ) 为 pro-ℓ 群。
• 利用自然同态 ρ: Γg,n,𝐫 → Sp_g(ℤℓ) 定义映射类群的相对 pro-ℓ 完备化 Γg,n,𝐫^(ℓ)。
• 分析水平子群的映射 Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ) 的核，证明其为中心且当 g ≥ 3 时包含一个 ℤℓ 的拷贝。
• 应用谱序列与上同调技巧，证明当 g ≥ 1 时 H¹(Γg,n, ℤ) 为零，从而推出 Galois 惰性群诱导的同态是平凡的。
• 通过在 ℤ 上构造极大退化的稳定曲线的变形，利用切向基点通过形式圆盘上的 ℙ¹-丛，定义 Galois 群在相对完备化上的作用。
• 利用正合列 0 → ℤℓ(1)^r → Γg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n+r^(ℓ) → 1 将 r > 0 的情形约化至 r = 0 的情形，并通过上同调上诱导同态的平凡性证明 Galois 作用的无 ramification 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 genus g ≥ 3 时，扭结群的 pro-ℓ 完备化是否单射地嵌入映射类群的相对 pro-ℓ 完备化中？
• RQ2 当 g ≥ 2 时，扭结群的 pro-ℓ 完备化在 genus g 曲面的 pro-ℓ 基本群上的作用是否忠实？
• RQ3 在适当选择的一阶变形下，映射类群的相对 pro-ℓ 完备化上的 Galois 表示是否在不同于 ℓ 的素数上无 ramification？
• RQ4 在映射类群具有非平凡辛像的背景下，相对 pro-ℓ 完备化如何改进经典 pro-ℓ 完备化？
• RQ5 对于水平子群，映射 Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ) 的核的结构是什么？

主要发现

• 当 g ≥ 3 且任意素数 ℓ 时，映射 Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ) 的核在 Tg,n,𝐫^(ℓ) 中为中心且包含一个 ℤℓ 的拷贝。
• 若 Tg,n,𝐫 是 ℓ-正则的，则存在正合列 0 → ℤℓ → Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ) → Sp_g(ℤℓ)[m] → 1。
• 当 g ≥ 2 时，扭结群的 pro-ℓ 完备化 Tg,1^(ℓ) 在带基点的 genus g 曲面的 pro-ℓ 基本群上的作用不是忠实的。
• 对所有 g ≥ 1 且 r > 0，Gℚ 的惰性群 Ip 在 p ≠ ℓ 时在 Γg,n,𝐫^(ℓ) 上作用平凡，从而证明了 Galois 表示的无 ramification 性质。
• 映射类群的相对 pro-ℓ 完备化是非平凡的，且反映了群的结构，而经典 pro-ℓ 完备化对完美群（如当 g ≥ 3 时的 Γg）则为零。
• 通过在 ℤ 上的正式圆盘上使用 ℙ¹-丛构造切向基点，确保了 Galois 群在相对完备化上的作用在 ℓ 以外的素数上是无 ramification 的。