[论文解读] Relaxed Multirate Infinitesimal Step Methods for Initial-Value Problems

Jean Sexton, Daniel R. Reynolds|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文通过将广义加法 Runge-Kutta (GARK) 理论应用于递归通量分裂多速率 (RFSMR) 框架，提出了一类新型四阶精度多速率时间积分方法——松弛多速率无穷小微步 (RMIS) 方法。该方法实现了次循环、自适应时间尺度分离以及嵌入式误差估计，且不损失线性稳定性，从而在具有显著快慢动力学的多速率 ODE 系统中实现了高阶精度。

ABSTRACT

This work focuses on the construction of a new class of fourth-order accurate methods for multirate time evolution of systems of ordinary differential equations. We base our work on the Recursive Flux Splitting Multirate (RFSMR) version of the Multirate Infinitesimal Step (MIS) methods and use recent theoretical developments for Generalized Additive Runge-Kutta methods to propose our higher-order Relaxed Multirate Infinitesimal Step extensions. The resulting framework supports a range of attractive properties for multirate methods, including telescopic extensions, subcycling, embeddings for temporal error estimation, and support for changes to the fast/slow time-scale separation between steps, without requiring any sacrifices in linear stability. In addition to providing rigorous theoretical developments for these new methods, we provide numerical tests demonstrating convergence and efficiency on a suite of multirate test problems.

研究动机与目标

• 解决多物理场模拟中存在广泛时间尺度差异时对高阶、稳定且高效时间积分器的需求。
• 克服现有多速率方法在处理可变时间尺度分离时牺牲稳定性或精度的局限性。
• 构建一个支持快分量显式与隐式积分的框架，同时保持四阶精度。
• 实现实际应用功能，如时间误差估计、望远镜式扩展以及积分过程中动态调整时间尺度分离。
• 确保即使在快慢时间尺度比值随步长变化时，线性稳定性仍能得以保持。

提出的方法

• 将多速率问题表述为加法分裂 ODE：y' = f^f(y) + f^s(y)，其中包含独立的快慢分量。
• 应用 GARK（广义加法 Runge-Kutta）理论，推导多速率格式的阶条件与稳定性性质。
• 通过放松标准 MIS 方法的严格耦合约束，构建 RMIS 方法，从而实现更高阶精度。
• 采用两阶段结构：外层 Runge-Kutta 方法用于慢分量，内层方法用于快分量，并利用嵌入阶段实现误差估计。
• 每一步慢分量积分中，对快分量进行 m 次子步，时间步长比 m ≈ dt_s / dt_f，实现次循环。
• 通过精心设计系数，保持底层基础方法的稳定性特性，从而确保线性稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种四阶精度的多速率方法，在可变时间尺度分离条件下仍保持线性稳定性？
• RQ2 如何在不降低稳定性或精度的前提下，将次循环与时间误差估计整合进多速率格式？
• RQ3 GARK 理论在实现具有松弛耦合约束的高阶多速率方法中起到何种作用？
• RQ4 该方法能否在积分过程中支持快慢时间尺度比值的动态变化，同时保持收敛性与稳定性？
• RQ5 与标准多速率或单速率积分器相比，该新方法在多速率 ODE 问题上实际效率提升如何？

主要发现

• 所提出的松弛多速率无穷小微步 (RMIS) 方法对具有明确快慢分量的多速率 ODE 系统实现了四阶精度。
• 该方法支持次循环、望远镜式扩展与嵌入式误差估计，且不损害线性稳定性。
• 该框架允许在步骤之间动态调整时间尺度分离比，从而在复杂模拟中提供更大灵活性。
• 数值实验验证了最优收敛速率，并表明在多速率测试问题上，该方法相比单速率方法具有显著的效率提升。
• 理论分析表明，即使在放松耦合假设下，该方法仍满足所有必要的阶条件与线性稳定性约束。
• 该方法适用于快分量的显式与隐式积分，从而扩大了其在刚性与非刚性系统中的适用范围。