[论文解读] Representation theory of 2-groups on finite dimensional 2-vector spaces

Josep Elgueta|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文在Kapranov与Voevodsky定义的复2-向量空间2-范畴上，发展了2-群的表示理论，通过2-群的同伦群和一个3-上循环不变量，计算了表示的等价类。研究结果表明，基本群π₀(𝐺)的线性表示与置换表示可完全嵌入2-表示范畴中，并给出了态射与复合函子的显式构造。

ABSTRACT

In this paper, the 2-category $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$ of (weak) representations of an arbitrary (weak) 2-group $\mathbb{G}$ on (some version of) Kapranov and Voevodsky's 2-category of (complex) 2-vector spaces is studied. In particular, the set of equivalence classes of representations is computed in terms of the invariants $π_0(\mathbb{G})$, $π_1(\mathbb{G})$ and $[α]\in H^3(π_0(\mathbb{G}),π_1(\mathbb{G}))$ classifying $\mathbb{G}$. Also the categories of morphisms (up to equivalence) and the composition functors are determined explicitly. As a consequence, we obtain the the {\it monoidal} category of linear representations (more generally, the category of $[z]$-projective representations, for any given cohomology class $[z]\in H^2(π_0(\mathbb{G}),\mathbb{C}^*)) of the first homotopy group $π_0(\mathbb{G})$ as well as its category of representations on finite sets both live in $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$, the first as the monoidal category of endomorphisms of the trivial representation (more generally, as the category of morphisms between suitable 1-dimensional representations) and the second as a subcategory of the homotopy category of $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$.

研究动机与目标

• 在Kapranov与Voevodsky定义的复2-向量空间2-范畴中，发展2-群的完整表示理论。
• 根据拓扑不变量π₀(𝐺)、π₁(𝐺)和[α] ∈ H³(π₀(𝐺), π₁(𝐺))，对任意2-群𝔾在2Matℂ上的弱表示的等价类进行分类。
• 显式确定2-表示范畴中1-态射（交织子）与复合函子的范畴。
• 将π₀(𝐺)的线性表示的张量范畴与在有限集上的置换表示范畴，作为其同伦范畴的子范畴，嵌入2-表示范畴中。
• 建立从π₀(𝐺)的有限集表示范畴到2-表示同伦范畴的2-函子，证明其在对象上是全忠实的，但在态射上不是全忠实的。

提出的方法

• 利用2-群的同伦群π₀(𝐺)与π₁(𝐺)及其分类弱2-群结构的3-上循环类[α] ∈ H³(π₀(𝐺), π₁(𝐺))进行分类。
• 通过2-矩阵表示构造2-群𝔾在2Matℂ上的表示，其中对象为标准2-向量空间ℂ的有限直和，态射由向量空间矩阵给出。
• 将表示之间的1-态射定义为三元组(R, I, I)，其中R为向量空间矩阵，I为恒等交织子，满足2-范畴结构的协调条件。
• 利用π₀(𝐺)在有限集上的置换表示，通过关联的2-矩阵表示（其中R(f)为置换矩阵）构造2-表示。
• 建立从π₀(𝐺)的有限集表示范畴到2-表示同伦范畴的2-函子F，将每对(n, ρ)映射为2-矩阵表示ℝ_{n,ρ}。
• 证明诱导的同伦范畴函子是本质单射且在对象上全忠实，但由于交织子的维数限制，其在态射上不全忠实。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对Kapranov与Voevodsky的2-向量空间上2-群𝔾的弱表示等价类进行分类？
• RQ2 2-表示范畴中1-态射（交织子）与复合函子的2-范畴的显式结构是什么？
• RQ3 π₀(𝐺)的线性表示如何作为平凡2-表示的自同态出现？
• RQ4 π₀(𝐺)在有限集上的置换表示能否嵌入2-表示范畴中？若能，如何实现？
• RQ5 2-群的2-表示范畴与该群基本群表示的同伦范畴之间存在何种关系？

主要发现

• 2-群𝔾在2Matℂ上的弱表示等价类集合，由π₀(𝐺)、π₁(𝐺)及上同调类[α] ∈ H³(π₀(𝐺), π₁(𝐺))分类。
• π₀(𝐺)的线性表示的张量范畴作为平凡2-表示的自同态范畴被嵌入，更一般地，[z]-投影表示作为1维表示之间的态射出现。
• π₀(𝐺)在有限集上的置换表示范畴，通过将每对(n, ρ)映射为2-矩阵表示ℝ_{n,ρ}的2-函子F，完全忠实嵌入2-表示同伦范畴中。
• 诱导的同伦范畴函子Ho(F)是本质单射，即2-表示范畴中同构的表示对应于同构的置换表示。
• 然而，Ho(F)不是全忠实的，因为像中的1-交织子被限制为线丛（秩1矩阵），而一般交织子可具有任意秩，表明像不是全子范畴。
• 通过置换矩阵R(f)与恒等交织子I，给出了1-交织子的显式公式，当2-上循环β、β′为平凡时，协调条件被验证为平凡成立。