[论文解读] Representation theory of W-algebras and Higgs branch conjecture

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 43被引用 6

一句话总结

本文建立了W代数表示理论与4D N=2超共形场论（SCFT）的Higgs分支之间的深层联系，特别是针对σ类理论。证明了此类理论中顶点代数的关联概形通过张量函子与Higgs分支同构，证实了Higgs分支猜想，并通过拟李斯顶点代数揭示了Schur指标的模不变性。

ABSTRACT

We survey a number of results regarding the representation theory of $W$-algebras and their connection with the resent development of the four dimensional $N=2$ superconformal field theories in physics.

研究动机与目标

• 建立一个将W代数表示理论与4D N=2超共形场论的Higgs分支相联系的数学框架。
• 利用顶点代数结构与关联概形，证明σ类理论的Higgs分支猜想。
• 证明4D N=2 SCFT生成的顶点代数满足拟李斯条件，从而导致Schur指标的模不变性。
• 构造一个从2-流形到顶点代数的张量函子，通过在临界水平下的切向微分算子实现Higgs分支几何。

提出的方法

• 利用顶点代数的关联概形构造，将其映射到泊松概形，并将拟李斯顶点代数定义为具有有限多个辛叶的代数。
• 应用Zhu约化与Etingof-Schelter定理，证明当$V_0 = \mathbb{C}$时，拟李斯顶点代数仅有有限多个简单普通模。
• 构造一个从2-流形范畴$\mathbb{B}_2$到顶点代数范畴$\mathbb{V}$的张量函子$\eta_G$，满足$\eta_G(S^1) = G$，其中$G$为复半单群。
• 利用相对半无限上同调定义$\mathbb{V}$中态射的复合，确保与几何朗兰兹程序及Higgs分支几何的一致性。
• 依赖Moore-Tachikawa猜想（最近在[BFN17]中被证明），通过函子$\eta^{BFN}_G$将Higgs分支实现为辛概形。
• 在切向代数与σ类理论的Higgs分支之间建立同构$X_{\eta_G(B)} \cong \eta^{BFN}_G(B)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 由4D N=2 SCFT生成的顶点代数的关联概形是否与对应理论的Higgs分支一致？
• RQ2 W代数的表示理论能否用于证明σ类理论的Higgs分支猜想？
• RQ3 4D N=2 SCFT生成的顶点代数是否满足拟李斯条件，从而导致Schur指标的模不变性？
• RQ4 是否存在一个从2-流形到顶点代数的张量函子，通过在临界水平下的切向微分算子实现Higgs分支几何？

主要发现

• σ类理论的Higgs分支猜想得到证实：切向代数$\eta_G(B)$的关联概形$X_{\eta_G(B)}$与Higgs分支$\eta^{BFN}_G(B)$同构。
• 顶点代数$\eta_G(B)$是拟李斯的，意味着其关联概形具有有限多个辛叶，这是模不变性的关键性质。
• 拟李斯顶点代数的普通模范畴是有限的，这是定理12关于模线性微分方程的直接推论。
• 4D N=2 SCFT的Schur指标满足模不变性，证实了物理学家在[BR17]中的一个猜想。
• σ类理论的切向代数被实现为从2-流形到$\mathbb{V}$的张量函子$\eta_G$的像，其中$\eta_G(S^1) = G$，且$\eta_G(\text{cap}) = H^0_{DS,f_{prin}}(\mathcal{D}_G^{ch})$。
• 范畴$\mathbb{V}$中的单位态射被实现为临界水平下的切向微分代数$\mathcal{D}_G^{ch}$，其关联概形为$T^*G$。