[论文解读] Quantum q-Langlands Correspondence

Mina Aganagic, Edward Frenkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用 17

一句话总结

本文通过将 ${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 代数的 $q$-变形共形块与量子仿射代数 $\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}$ 的共形块相等化，提出了几何朗兰兹对应关系的量子 $q$-变形，利用中野小丛图变体的量子 $K$-理论，证明了所有单连通李代数的同构。该对应关系源于共形极限下的六维小弦理论，为量子朗兰兹对偶性提供了物理实现。

ABSTRACT

We formulate a two-parameter generalization of the geometric Langlands correspondence, which we prove for all simply-laced Lie algebras. It identifies the q-conformal blocks of the quantum affine algebra and the deformed W-algebra associated to two Langlands dual Lie algebras. Our proof relies on recent results in quantum K-theory of the Nakajima quiver varieties. The physical origin of the correspondence is the 6d little string theory. The quantum Langlands correspondence emerges in the limit in which the 6d string theory becomes the 6d conformal field theory with (2,0) supersymmetry.

研究动机与目标

• 建立 $q$-变形共形块的 ${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 与量子仿射代数 $\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}$ 之间在所有单连通 $\mathfrak{g}$ 上的 $q$-变形量子朗兰兹对应关系。
• 证明该同构源于共形极限下的六维小弦理论，从而将物理结构与数学结构相联系。
• 通过中野小丛图变体的量子 $K$-理论，为该对应关系提供几何实现。
• 利用顶点函数与局部化方法，将经典几何朗兰兹对应关系推广至其量子与 $q$-变形版本。

提出的方法

• 通过中野小丛图变体的量子 $K$-理论中的顶点函数，表达两种代数的 $q$-变形共形块。
• 使用局部化技术，计算小丛图变体模空间中不动点的贡献。
• 利用等变积分与 $GIT$ 商的 $K$-理论中的留数，推导顶点函数的积分公式。
• 应用退化公式与差分方程，将 $q$-KZ 方程与共形块联系起来。
• 通过 $q$-变形顶点函数与稳定锥体的显式识别，建立共形块之间的同构。
• 通过 $S$-对偶性与 $3d$ 小丛图 gauge 理论中的缺陷划分函数，将数学结构与六维小弦理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将量子朗兰兹对应关系 $q$-变形，以关联 $q$-变形的 ${\mathcal{W}}_{q,t}$-代数与量子仿射代数？
• RQ2 该 $q$-变形对应关系在小丛图变体及其量子 $K$-理论中的几何起源是什么？
• RQ3 六维小弦理论如何通过 $S$-对偶性与缺陷算符实现 $q$-变形量子朗兰兹对偶性？
• RQ4 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 与 $\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}$ 的共形块能否通过积分表示显式识别？
• RQ5 椭圆稳定锥体在 $A_1$ 情况下对构造 $q$-KZ 方程的 $z$-与 $a$-解起到何种作用？

主要发现

• 本文证明了所有单连通李代数 $\mathfrak{g}$ 的 ${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 与 $\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}$ 的 $q$-变形共形块之间存在同构，确立了 $q$-变形量子朗兰兹对应关系。
• 该同构通过中野小丛图变体的量子 $K$-理论实现，共形块表示为环面不动点集上的积分。
• 当 $\mathfrak{g} = A_1$ 时，$q$-KZ 方程及其 $z$-解在 $X = T^*\mathbb{P}^{n-1}$ 上实现了几何化，其显式积分公式由稳定锥体导出。
• $A_1$ 情况下的 $q$-维拉索罗共形块通过椭圆稳定锥体与 $q$-变形 ${\mathcal{W}}$-代数的顶点函数相匹配。
• 六维小弦理论的共形极限产生六维 $(2,0)$ 超共形场论，在其中量子朗兰兹对偶性表现为范畴等价。
• 该构造在 $q$-变形设定下为 Gaitsgory–Lurie 猜想提供了物理实现，将 $3d$ 小丛图 gauge 理论与量子几何朗兰兹程序联系起来。