[论文解读] Representations and geometric structures

Anna Wienhard|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过辛群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{R})$ 和 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{C})$ 中的 Anosov 表示，研究了高秩对称空间的几何结构。它利用边界映射在拉格朗日子流形上构造了不连续域，推广了反 de Sitter 空间中的经典不连续区域，并提出了关于 Anosov 表示的连通分支与拟等距刚性等基础性问题。

ABSTRACT

This note summarizes in an informal way some geometric properties of Anosov representations into the symplectic group, which were presented in a talk at the conference What is Next. The mathematical legacy of Bill Thurston, held in June 2014 in Cornell.

研究动机与目标

• 为了发展对高秩对称空间及以之为模型的流形的几何直觉，受 Bill Thurston 几何视野的启发。
• 通过 Anosov 表示研究 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{R})$ 和 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{C})$ 的离散子群，特别关注其动力学与几何性质。
• 在 Anosov 表示下，构造并分析拉格朗日子流形 $\mathrm{Lag}(V)$ 中的不连续域，推广反 de Sitter 几何中已知的构造。
• 研究 Anosov 表示连通分支的结构及其拟等距刚性性质。
• 理解复拉格朗日子流形在实结构下的分解及其对表示几何的影响。

提出的方法

• 以 word 超曲群到 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{R})$ 和 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{C})$ 的 $Q_i$-Anosov 表示理论作为核心框架。
• 通过边界映射 $\xi: \partial_\infty\Gamma \to \mathrm{Lag}(V)$ 的像，将非横截的拉格朗日子空间的并集的补集构造为不连续域 $\mathcal{D}_\xi \subset \mathrm{Lag}(V)$。
• 应用表示 $\rho = (\rho_1, \rho_2)$ 在 $\mathcal{D}_\xi$ 上的作用，通过横截性与各向同性条件证明其作用是适当不连续的。
• 分析 $\mathrm{Lag}(V_{\mathbf{C}})$ 在实结构与交集维数 $\dim(W \cap \overline{W}) = i$ 基础上的 $\mathrm{Sp}(V,\omega)$-轨道 $\mathcal{R}_i$ 的分解。
• 依赖于对称空间如 $X_{\mathbf{R}}(n) \cong \mathrm{Sp}(2n,\mathbf{R})/\mathrm{U}(n)$ 和 $X_{p,q} \cong \mathrm{Sp}(2n,\mathbf{R})/\mathrm{U}(p,q)$ 的识别，以理解几何模型。
• 利用 $\mathrm{Lag}(V)$ 在 $\mathrm{Is}_n(V)$ 上的纤维化性质，以及 $\mathrm{Is}_i(V)$ 作为 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{K})$ 在稳定化子 $Q_i(V)$ 下的齐性空间这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有限生成的 word 超曲群 $\Gamma$ 与非紧致单李群 $G$，$\mathrm{Hom}(\Gamma, G)$ 的整个连通分支均由 Anosov 表示构成？
• RQ2 在 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbf{K})$ 中存在 $Q_i$-Anosov 表示的有限生成群类是否具有拟等距刚性？
• RQ3 在非紧致单李群中存在任意 Anosov 表示的有限生成群类是否具有拟等距刚性？
• RQ4 当 $n \geq 2$ 时，$\mathcal{D}_\xi \cap \mathcal{T}_0 \subset \mathrm{Lag}(V)$ 的结构是什么？这推广了反 de Sitter 空间中 $n=1$ 的情形。
• RQ5 什么共同的底层结构使得 $\mathrm{Hom}(\Gamma, G)$ 的整个连通分支均由 Anosov 表示构成？

主要发现

• 在集合 $\mathcal{D}_\xi \subset \mathrm{Lag}(V)$ 上，$Q_{2n}$-Anosov 表示 $\rho = (\rho_1, \rho_2)$ 的作用是适当不连续的，尽管不是余紧的。
• 当 $n=1$ 时，交集 $\mathcal{D}_\xi \cap \mathcal{T}_0$ 对应该于反 de Sitter 空间中的不连续域，如 [Bar] 所述，并与 Mess 的构造相关。
• 复拉格朗日子流形 $\mathrm{Lag}(V_{\mathbf{C}})$ 按 $\dim(W \cap \overline{W}) = i$ 分解为 $\mathrm{Sp}(V,\omega)$-轨道 $\mathcal{R}_i$，其中 $\mathcal{R}_n$ 是唯一的闭轨道。
• 在每个 $i$-维各向同性子空间上的纤维同构于仿射对称空间的并集 $\bigcup_{p'+q'=n-i} X_{p',q'}$。
• 当 $\rho_1, \rho_2$ 均为 $Q_n$-Anosov 时，乘积表示 $\rho = (\rho_1, \rho_2)$ 是 $Q_{2n}$-Anosov，从而保证了几何结构的保持。
• 集合 $\mathcal{N}_\xi = \bigcup_{t \in \partial_\infty\Gamma} N_{\xi(t)}$ 包含所有与 $\xi(t)$ 不横截的拉格朗日子空间，其补集 $\mathcal{D}_\xi$ 即为不连续域。