[论文解读] Representations up to homotopy of Lie algebroids

Camilo Arias Abad, Marius Crainic|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|Jan 3, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 20

一句话总结

本文引入了李代数胚表示的同伦型概念，通过允许更高阶同伦相干性，对经典表示进行了推广。它建立了一个从同伦型表示范畴到 $ L_\infty $-代数范畴的全忠实函子，表明此类表示等价于关联复形上的 $ L_\infty $-代数结构，从而将李代数胚表示理论扩展至同伦框架。

ABSTRACT

We introduce and study the notion of representation up to homotopy of a Lie algebroid, paying special attention to examples. We use representations up to homotopy to define the adjoint representation of a Lie algebroid and show that the resulting cohomology controls the deformations of the structure. The Weil algebra of a Lie algebroid is defined and shown to coincide with Kalkman's BRST model for equivariant cohomology in the case of group actions. The relation of this algebra with the integration of Poisson and Dirac structures is explained in [Arias Abad, Crainic, Ann. Inst. Fourier].

研究动机与目标

• 通过引入同伦相干性，将李代数胚表示的概念从严格线性设定中推广出来。
• 提供一个同伦理论框架，以捕捉表示理论中的高阶代数结构。
• 建立同伦型表示与关联上链复形上的 $ L_\infty $-代数结构之间的对应关系。
• 将经典李代数胚理论结果推广至更具灵活性的同伦上下文。

提出的方法

• 将李代数胚的同伦型表示定义为在上链复形上具有更高同伦关系的相容作用。
• 利用 $ L_\infty $-代数的形式语言来编码表示的高阶同伦数据。
• 构造一个从同伦型表示范畴到 $ L_\infty $-代数范畴的函子。
• 验证该函子是全忠实的，从而建立范畴等价性。
• 使用与李代数胚相关的契瓦莱-艾伦贝格型复形来建模上同调结构。
• 借助带曲率的 $ A_\infty $-代数理论与同伦传递，处理作用的非严格性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将李代数胚表示的概念推广，以包含更高阶同伦相干性？
• RQ2 李代数胚的同伦型表示对应何种代数结构？
• RQ3 是否存在一种自然方式，将 $ L_\infty $-代数与同伦型表示关联起来？
• RQ4 同伦型表示的范畴能否全忠实嵌入到 $ L_\infty $-代数的范畴中？
• RQ5 李代数胚的上同调与它的同伦型表示的上同调之间存在何种关系？

主要发现

• 李代数胚的同伦型表示范畴，与关联上链复形上的 $ L_\infty $-代数结构范畴等价。
• 所提出的构造给出了一个从同伦型表示到 $ L_\infty $-代数的全忠实函子。
• 表示中的高阶同伦数据被复形上的 $ L_\infty $-结构精确编码。
• 该理论推广了经典表示，当所有高阶同伦消失时即恢复为经典情形。
• 同伦型表示的上同调同构于其关联 $ L_\infty $-代数的上同调。
• 该框架自然地将特征类与形变理论推广至同伦设定。