[论文解读] Representing Random Permutations as the Product of Two Involutions

Charles Burnette, Eric Schmutz|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文证明了将 $n$ 个元素的随机排列表示为两个对合的乘积的方式数，记为 $\mathbf{N}_n(\sigma)$，当 $n \to \infty$ 时渐近服从对数正态分布。证明的关键在于表明 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ 被循环长度的乘积 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 好地近似，而 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 的渐近对数正态性已由 Erdřs 和 Turán 建立，从而将对数正态极限定律转移至 $\mathbf{N}_n$。

ABSTRACT

An involution is a permutation that is its own inverse. Given a permutation $σ$ of $[n],$ let $\mathbf{N}_{n}(σ)$ denote the number of ways to write $σ$ as a product of two involutions of $[n].$ If we endow the symmetric groups $S_{n}$ with uniform probability measures, then the random variables ${\mathbf N}_{n}$ are asymptotically lognormal. The proof is based upon the observation that, for most permutations $σ$, $\mathbf{N}_{n}(σ)$ can be well approximated by $\mathbf{B}_{n}(σ),$ the product of the cycle lengths of $σ$. Asymptotic lognormality of $\mathbf{N}_{n}$ can therefore be deduced from Erdős and Turán's theorem that $\mathbf{B}_{n}$ is itself asymptotically lognormal.

研究动机与目标

• 确定 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ 的渐近分布，即随机排列 $\sigma \in S_n$ 表示为两个对合乘积的方式数。
• 解决 Lugo 的猜想：在均匀随机排列测度下，$\mathbf{N}_n$ 是渐近对数正态的。
• 建立 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ 与循环长度乘积 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 之间的联系，表明对大多数排列，$\mathbf{N}_n(\sigma)$ 被 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 好地近似。
• 利用已知的 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 的渐近对数正态性，推导出 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ 的相同极限定律。

提出的方法

• 使用显式公式 $\mathbf{N}_n(\sigma) = \prod_{k=1}^n \sum_{j=0}^{\lfloor c_k/2 \rfloor} \frac{k^{c_k - j} c_k!}{2^j j! (c_k - 2j)!}$，其中 $c_k$ 是 $\sigma$ 中 $k$-循环的数量，来分析因子分解的结构。
• 通过基于循环分解的构造性因子分解论证，证明 $\mathbf{N}_n(\sigma) \geq \mathbf{B}_n(\sigma) = \prod_k k^{c_k}$。
• 应用循环计数的概率界：$\mathbb{P}_n(c_k \geq 2 \text{ 对某个 } k \geq \xi) = O(1/\xi)$ 且 $\mathbb{P}_n(c_k \geq \xi \text{ 对某个 } k \leq \xi) = O(\xi/e^\xi + \xi/n)$，表明大多数排列具有少量长循环。
• 使用高概率下的界 $\mathbf{N}_n(\sigma) \leq (c \xi^\xi)^\xi \mathbf{B}_n(\sigma)$，其中 $\xi = \sqrt{\log n}$，其增长速度慢于 $\sigma_n = \sqrt{\frac{1}{3}\log^3 n}$。
• 应用标准正态分布累积分布函数 $\Phi(x)$ 的连续性，以及已知的 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 的渐近对数正态性（其中 $\mu_n \sim \frac{1}{2}\log^2 n$ 且 $\sigma_n^2 \sim \frac{1}{3}\log^3 n$），将极限定律转移至 $\mathbf{N}_n(\sigma)$。
• 结合上下尾界，证明 $\mathbb{P}_n(\log \mathbf{N}_n \leq \mu_n + x\sigma_n) \to \Phi(x)$，从而证明渐近对数正态性。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机排列表示为两个对合乘积的方式数 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ 是否渐近对数正态？
• RQ2 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ 与循环长度乘积 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 有何关系？该近似在概率上能否量化？
• RQ3 对大多数排列 $\sigma$，$\mathbf{N}_n(\sigma)$ 的典型数量级是多少？
• RQ4 为何 $\mathbb{E}_n[\mathbf{N}_n]$ 的平均值具有误导性，且分布为何集中在 $\exp(\frac{1}{2}\log^2 n)$ 附近？
• RQ5 尽管因子分解的组合结构更复杂，能否将 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 的渐近对数正态性推广至 $\mathbf{N}_n(\sigma)$？

主要发现

• 随机变量 $\mathbf{N}_n$（表示均匀随机排列 $\sigma \in S_n$ 分解为两个对合的方式数）渐近服从对数正态分布：当 $n \to \infty$ 时，$\mathbb{P}_n(\log \mathbf{N}_n \leq \mu_n + x\sigma_n) \to \Phi(x)$。
• 对大多数排列 $\sigma$，有 $e^{(\frac{1}{2}-\epsilon)\log^2 n} < \mathbf{N}_n(\sigma) < e^{(\frac{1}{2}+\epsilon)\log^2 n}$，表明其在 $\log$ 尺度上集中在 $\exp(\frac{1}{2}\log^2 n)$ 附近。
• $\mathbf{N}_n(\sigma)$ 在高概率下被 $\mathbf{B}_n(\sigma) = \prod_k k^{c_k}$（即 $\sigma$ 的循环长度乘积）良好近似。
• 通过循环计数的界控制近似误差：当 $\xi = \sqrt{\log n}$ 时，有 $\mathbf{N}_n(\sigma) \leq (c \xi^\xi)^\xi \mathbf{B}_n(\sigma)$，其概率为 $1 - O(1/\xi + \xi/n + \xi/e^\xi)$。
• Erdřs 和 Turán 建立的 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ 的渐近对数正态性（其中 $\mu_n \sim \frac{1}{2}\log^2 n$ 且 $\sigma_n^2 \sim \frac{1}{3}\log^3 n$）意味着 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ 也服从相同的极限定律。
• 当且仅当为恒等排列时，$\mathbf{N}_n(\sigma)$ 取得最大值 $|\mathcal{T}_n|$，而最小值 $n-1$ 仅在具有一个 $(n-1)$-循环的排列中取得。