[论文解读] Reshetikhin-Turaev TQFTs close under generalised orbifolds

Nils Carqueville, Vincentas Mulevičius+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文证明了从模融合范畴构造的雷斯蒂希金–图雷夫拓扑量子场理论（TQFT）在广义对称 orbifold 构造下保持封闭。通过将 [3] 中的 orbifold 图 TQFT 框架应用于雷斯蒂希金–图雷夫缺陷 TQFT，作者证明了所得的 orbifold TQFT 与直接从与 orbifold 数据 $\mathcal{A}$ 相关的模范畴 $\pi_{\mathcal{A}}$ 构造的雷斯蒂希金–图雷夫 TQFT 等价，从而表明 RT 构造在广义 orbifolding 下保持不变。

ABSTRACT

We specialise the construction of orbifold graph TQFTs introduced in Carqueville et al., arXiv:2101.02482 to Reshetikhin-Turaev defect TQFTs. We explain that the modular fusion category ${\mathcal{C}}_{\mathcal{A}}$ constructed in Mulevičius-Runkel, arXiv:2002.00663 from an orbifold datum $\mathcal{A}$ in a given modular fusion category $\mathcal{C}$ is a special case of the Wilson line ribbon categories introduced as part of the general theory of orbifold graph TQFTs. Using this, we prove that the Reshetikhin-Turaev TQFT obtained from ${\mathcal{C}}_{\mathcal{A}}$ is equivalent to the orbifold of the TQFT for $\mathcal{C}$ with respect to the orbifold datum $\mathcal{A}$.

研究动机与目标

• 建立雷斯蒂希金–图雷夫 TQFT 在广义 orbifold 构造下的封闭性。
• 阐明模融合范畴 $\mathcal{C}$ 中 orbifold 数据 $\mathcal{A}$ 所产生的威尔逊线辫子范畴 $\mathcal{W}_{\mathcal{A}}$ 的范畴结构。
• 证明通过 [3] 中的一般框架获得的 orbifold TQFT $\mathcal{Z}^{\mathcal{C}}_{\mathcal{A}}$ 同构于直接从模范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ 构造的标准雷斯蒂希金–图雷夫 TQFT $\mathcal{Z}^{\text{RT},\mathcal{C}_{\mathcal{A}}}$。
• 证明 [18] 中构造的模融合范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ 恰好是 orbifold 图 TQFT 形式化中的威尔逊线范畴 $\mathcal{W}_{\mathcal{A}}$。
• 通过证明基于范畴 $\mathcal{C}$ 的缺陷 TQFT 经 orbifolding 后得到的 TQFT 与结果范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ 上的 RT TQFT 等价，统一了状态和与缺陷 TQFT 方法。

提出的方法

• 作者将 [3] 中的一般 orbifold 图 TQFT 构造应用于与模融合范畴 $\mathcal{C}$ 相关的缺陷 TQFT $\mathcal{Z}^{\mathcal{C}}$，以 orbifold 数据 $\mathcal{A}$ 作为输入。
• 他们将所得的威尔逊线辫子范畴 $\mathcal{W}_{\mathcal{A}}$ 识别为 [18] 中先前构造的模融合范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$，表明 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ 自然地从 orbifold 框架中产生。
• 该构造通过 3-流形及其嵌入的辫子图的可接受骨架分解实现，装饰有 orbifold 数据 $\mathcal{A}$，并使用原始 TQFT $\mathcal{Z}^{\mathcal{C}}$ 进行评估。
• 同构的证明依赖于骨架上的余极限构造，确保对分解选择的独立性，并利用相容性约束在 $\mathcal{W}_{\mathcal{A}}$ 上定义辫子结构。
• 作者将管道函子 $P_1$ 和 $P_2$ 定义为遗忘函子 $U: \mathcal{W}_{\mathcal{A}} \to \mathcal{W}$ 的双伴随函子，并构造一个自然同构 $\varphi: P_1 \to P_2$，使其尊重双伴随数据。
• 他们验证了同构 $\varphi_X$ 由涉及 orbifold 数据的特定图示态射给出，其逆为镜像，从而在范畴 $\mathcal{W}_{\mathcal{A}}$ 中确保一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当应用于缺陷 TQFT 时，[3] 中的广义 orbifold 构造是否与雷斯蒂希金–图雷夫 TQFT 构造相容？
• RQ2 来自 orbifold 图 TQFT 框架的威尔逊线辫子范畴 $\mathcal{W}_{\mathcal{A}}$ 是否与 [18] 中构造的模范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ 一致？
• RQ3 通过 [3] 中的一般框架获得的 orbifold TQFT $\mathcal{Z}^{\mathcal{C}}_{\mathcal{A}}$ 是否与基于范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ 构造的标准雷斯蒂希金–图雷夫 TQFT $\mathcal{Z}^{\text{RT},\mathcal{C}_{\mathcal{A}}}$ 等价？
• RQ4 orbifold 构造能否被解释为保持 RT TQFT 结构的范畴商？
• RQ5 在 orbifolded TQFT 的背景下，两个半管道函子 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的确切范畴关系是什么？

主要发现

• 通过 [3] 中的一般框架构造的 orbifold TQFT $\mathcal{Z}^{\mathcal{C}}_{\mathcal{A}}$ 同构于标准雷斯蒂希金–图雷夫 TQFT $\mathcal{Z}^{\text{RT},\mathcal{C}_{\mathcal{A}}}$，证明了 RT TQFT 在广义 orbifolding 下的封闭性。
• orbifold 图 TQFT 中的威尔逊线辫子范畴 $\mathcal{W}_{\mathcal{A}}$ 恰好是 [18] 中构造的模融合范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$，确认了 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ 是一般 orbifold 框架的特例。
• 通过在可接受骨架上的余极限构造，建立了 $\mathcal{Z}^{\mathcal{C}}_{\mathcal{A}}$ 与 $\mathcal{Z}^{\text{RT},\mathcal{C}_{\mathcal{A}}}$ 之间的同构，确保了对分解选择的独立性。
• 两个半管道函子之间的自然同构 $\varphi: P_1 \to P_2$ 显式地由涉及 orbifold 数据的图示态射给出，其逆为镜像，从而在范畴 $\mathcal{W}_{\mathcal{A}}$ 中确保了相干性。
• 该构造确认了模范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ 不仅是一个形式商，而且作为 orbifolded TQFT 中的威尔逊线范畴自然出现，从而将缺陷与状态和方法统一起来。
• 结果表明，RT TQFT 构造在广义 orbifold 过程下是稳定的，将已知的图维–维罗与 RT TQFT 之间的对偶性扩展到了 orbifold 设置。