[论文解读] Condensations in higher categories

Davide Gaiotto, Theo Johnson-Freyd|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 19

一句话总结

本文通过使用'凝聚'——一种描述凝聚 matter 物理中拓扑相变的数学框架——引入了卡拉比包络的高阶范畴推广。它证明了高阶卡拉比包络构造实现了绝对极限，并完全刻画了完全对偶对象，从而通过cobordism 假说，为无能隙拓扑物相与完全展开的拓扑量子场论（TQFT）之间建立了严格的桥梁。

ABSTRACT

We present a higher-categorical generalization of the "Karoubi envelope" construction from ordinary category theory, and prove that, like the ordinary Karoubi envelope, our higher Karoubi envelope is the closure for absolute limits. Our construction replaces the idempotents in the ordinary version with a notion that we call "condensations." The name is justified by the direct physical interpretation of the notion of condensation: it encodes a general class of constructions which produce a new topological phase of matter by turning on a commuting projector Hamiltonian on a lattice of defects within a different topological phase, which may be the trivial phase. We also identify our higher Karoubi envelopes with categories of fully-dualizable objects. Together with the Cobordism Hypothesis, we argue that this realizes an equivalence between a very broad class of gapped topological phases of matter and fully extended topological field theories, in any number of dimensions.

研究动机与目标

• 通过将凝聚作为幂等自同态的范畴类比，将卡拉比包络构造推广到高阶范畴。
• 通过格点哈密顿量和缺陷网络，为描述无能隙拓扑物相提供数学框架。
• 证明高阶卡拉比包络构造精确对应于绝对极限的闭包，包括直和与凝聚。
• 将高阶范畴中的完全对偶对象与凝聚结构联系起来，从而通过cobordism 假说将其与完全展开的TQFT联系起来。
• 统一描述各维度下的无能隙物相与展开TQFT，包括费米子系统与对称性增强系统。

提出的方法

• 在n范畴中通过凝聚单子定义'n-凝聚'，作为幂等自同态的高阶范畴类比。
• 将凝聚态构造为凝聚单子的像，将卡拉比包络推广到高阶范畴。
• 通过态-算子映射定义单位元凝聚，将物理上的凝聚过程与双模中的代数单位性联系起来。
• 利用cobordism 假说，证明高阶卡拉比包络中完全对偶对象对应于完全展开的TQFT。
• 引入记号ΣC = Kar(Mat(BC))，表示在直和与凝聚下的一致完备化，尤其适用于加法n范畴。
• 将该框架应用于具体例子，如Σⁿℂ和Σⁿ𝕂，表明其产生n维展开TQFT与对易投影哈密顿量系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将卡拉比包络构造推广到高阶范畴，以模拟拓扑相变？
• RQ2 拓扑物相中凝聚的物理过程背后的范畴结构是什么？
• RQ3 凝聚如何与高阶范畴中的绝对极限和完全对偶对象相关联？
• RQ4 高阶卡拉比包络构造能否通过cobordism 假说完全分类完全展开的TQFT？
• RQ5 直和与加法结构在n范畴经由凝聚完成时起什么作用？

主要发现

• 通过凝聚实现的高阶卡拉比包络构造是高阶范畴中绝对极限的普遍闭包，推广了经典卡拉比包络。
• 高阶范畴中的凝聚建模了如在缺陷格点上开启对易投影哈密顿量等物理过程，直接关联到拓扑物相。
• 构造ΣC = Kar(Mat(BC)) 确保了在直和与凝聚下的闭包，尤其适用于加法n范畴。
• 高阶卡拉比包络中完全对偶对象恰好来自凝聚结构，建立了与完全展开TQFT之间的一一对应。
• 该框架通过cobordism 假说，精确实现了无能隙拓扑物相与任意维度下完全展开TQFT之间的等价关系。
• 对于域𝕂，范畴Σⁿ𝕂等价于有限维𝕂-线性n范畴的范畴，且Σⁿℂ中的每个对象均确定一个明确的n维展开TQFT。