[论文解读] Residues formulas for the push-forward in K-theory, the case of G2/P

Andrzej Weber, Magdalena Zielenkiewicz|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文为例外齐次空间 $\mathbf{G}_2/P_2$ 的等变 K-理论中的上推导建立了残数公式，该空间嵌入于 $Gr(2,7)$。通过辛约化与局部化方法，推导出一个依赖于等变变量的基本类的 K-理论残数公式——此特点与经典格拉斯曼流形不同——从而可借助格罗滕迪克多项式进行计算，并得出 Schubert 类的显式上推值。

ABSTRACT

We study residue formulas for push-forward in K-theory of homogeneous spaces. First we review formulas for classical groups, which we derive from a formula for the classical Grassmannian case. Next we consider the homogeneous spaces for G2. One of them embeds in the Grassmannian Gr(2,7). We find its fundamental class in the equivariant K-theory and obtain the residue formula for the push-forward. This formula is valid for G2/B as well.

研究动机与目标

• 推导例外齐次空间 $\mathbf{G}_2/P_2$ 在等变 K-理论中上推导的残数公式。
• 使用格罗滕迪克多项式表达 $\mathbf{G}_2/P_2$ 在 $K^\mathbb{T}(Gr(2,7))$ 中的基本类。
• 将残数方法从经典格拉斯曼流形推广至例外群，特别是 $\mathbf{G}_2$。
• 计算 $K^\mathbb{T}(\mathbf{G}_2/P_2)$ 与 $K^\mathbb{T}(\mathbf{G}_2/B)$ 中 Schubert 类的显式上推值。
• 证明 $\mathbf{G}_2/P_2$ 的上推公式与经典情形存在根本性差异，其根本原因在于基本类对等变变量的依赖性。

提出的方法

• 应用辛约化与 Jeffrey–Kirwan 局部化方法，推导 K-理论残数公式。
• 利用 $\mathbf{G}_2/P_2$ 嵌入 $Gr(2,7)$ 的性质，将其基本类上拉至格拉斯曼流形的等变 K-理论中。
• 采用格罗滕迪克多项式作为高效 K-理论计算的基底。
• 利用局部化公式 (1) 通过固定点贡献计算上推值，对 $D_{12}/\mathbb{Z}_2$ 陪集求和。
• 对有理函数表达式 (3) 应用迭代残数 $Res_{Z=0,\infty}$ 以提取上推值。
• 将 Schubert 类的交截矩阵约化为关于 $A = 3 - t_1 - t_2^{-1} - t_2/t_1$ 与 $B = 3 - t_2 - t_1^{-1} - t_1/t_2$ 的对称多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将等变 K-理论中上推导的残数公式从经典格拉斯曼流形推广至例外齐次空间 $\mathbf{G}_2/P_2$？
• RQ2 $\mathbf{G}_2/P_2$ 在 $K^\mathbb{T}(Gr(2,7))$ 中的基本类结构为何？
• RQ3 为何 $\mathbf{G}_2/P_2$ 的上推公式与经典情形显著不同，特别是在依赖于等变变量方面？
• RQ4 格罗滕迪克多项式能否作为计算 $\mathbf{G}_2/P_2$ 中上推值的有效基底？
• RQ5 $\mathbf{G}_2/P_2$ 中 Schubert 类的交截矩阵的代数结构为何？

主要发现

• 在 $p_!$ 下，格罗滕迪克多项式 $G_{[0]}, G_{[1]}, G_{[2]}, G_{[11]}, G_{[3]}, G_{[21]}, G_{[31]}, G_{[22]}$ 的上推值均为 1。
• $G_{[4]}, G_{[41]}, G_{[32]}$ 的上推值为 2，而 $p_!(G_{[33]}) = 0$。
• $p_!(G_{[5]}), p_!(G_{[51]}), p_!(G_{[42]})$ 的上推值均为 $A + B$，其中 $A$ 与 $B$ 是 $t_1, t_2$ 的对称洛朗多项式。
• $p_!(G_{[52)}) = A^2 + B^2 + AB - 2A - 2B$，且 $p_!(G_{[43]}) = AB - A - B$。
• $5 \times 2$ 矩形中 Schubert 类的 $21 \times 21$ 交截矩阵的行列式为 $-1$，表明其具有单模结构。
• $\mathbf{G}_2/P_2$ 的基本类在 $K^\mathbb{T}(Gr(2,7))$ 中表示为 $2G_{41} + 2G_{32} - G_{33} - 3G_{42} + G_{43} + (A+B)(G_{21} - G_{22} - G_{31} + G_{32})$。