[论文解读] Riemann-Hilbert correspondence for unit $F$-crystals on embeddable algebraic varieties

Sachio Ohkawa|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文为特征为正的完美域上 $W_n$-可嵌入代数簇上的单位 $F$-晶体建立了黎曼-希尔伯特对应，证明了局部有限生成单位 $F$-晶体（有限 Tor-维数）的有界导出范畴与构造性 étale $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$-模层的有界导出范畴之间存在反等价。该构造独立于嵌入到一个正规光滑 $W_n$-概形的选择，将埃默顿-基辛的理论推广至非光滑提升的情形。

ABSTRACT

For a separated scheme $X$ of finite type over a perfect field $k$ of characteristic $p>0$ which admits an immersion into a proper smooth scheme over the truncated Witt ring $W_{n}$, we define the bounded derived category of locally finitely generated unit $F$-crystals with finite Tor-dimension on $X$ over $W_{n}$, independently of the choice of the immersion. Then we prove the anti-equivalence of this category with the bounded derived category of constructible étale sheaves of ${\mathbb Z}/{p^{n}{\mathbb Z}}$-modules with finite Tor dimension. We also discuss the relationship of $t$-structures on these derived categories when $n=1$. Our result is a generalization of the Riemann-Hilbert correspondence for unit $F$-crystals due to Emerton-Kisin to the case of (possibly singular) embeddable algebraic varieties in characteristic $p>0$.

研究动机与目标

• 将埃默顿-基辛关于单位 $F$-晶体的黎曼-希尔伯特对应从光滑 $W_n$-概形推广到特征 $p>0$ 的完美域上 $W_n$-可嵌入代数簇的情形。
• 在 $W_n$-可嵌入簇上定义一个不依赖于嵌入到正规光滑 $W_n$-概形的选择的单位 $F$-晶体的导出范畴。
• 证明黎曼-希尔伯特对应尊重格罗滕迪克的六个运算，特别是 $f_+$、$f^!$ 和 $τ$-积。
• 在 $\mathcal{D}$-模侧定义一个 $t$-结构，使其对应于 $W_n$-可嵌入簇上格罗滕迪克的加贝罗 perverse $t$-结构。
• 证明 $\mathcal{D}$-模侧的构造性 $t$-结构通过黎曼-希尔伯特等价对应于 étale 侧的标准 $t$-结构。

提出的方法

• 利用卡施瓦拉定理及其正特征类比（埃默顿-基辛）将 $X$ 上单位 $F$-晶体的导出范畴定义为 $D^b_{\rm lfgu}(\mathcal{D}_{F,P})^\circ$ 中的全子范畴，其上同调支撑于 $X$，其中 $X \hookrightarrow P$ 为任意嵌入，且 $P$ 是 $W_n$ 上的正规光滑概形。
• 证明该子范畴独立于嵌入 $X \hookrightarrow P$ 的选择，记为 $D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ$。
• 将黎曼-希尔伯特对应构造为反等价 $D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ \xrightarrow{\cong} D^b_{\rm ctf}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})$。
• 在 $\mathcal{D}$-模侧引入格罗滕迪克的运算（$f_+$、$f^!$、$τ$-积），并证明其分别对应于 étale 侧的 $f_!$、$f^{-1}$ 和 $τ$-积。
• 在 $\mathcal{D}$-模侧定义一个 $t$-结构，称为构造性 $t$-结构，利用环境概形 $P$ 的结构，并证明其独立于 $P$ 的选择。
• 证明构造性 $t$-结构通过黎曼-希尔伯特对应与 $D^b_{\rm c}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ 上的标准 $t$-结构对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将单位 $F$-晶体的黎曼-希尔伯特对应从光滑 $W_n$-概形推广到特征 $p>0$ 的完美域上更一般的 $W_n$-可嵌入代数簇？
• RQ2 在 $W_n$-可嵌入簇上，单位 $F$-晶体的导出范畴是否独立于其嵌入到正规光滑 $W_n$-概形的选择？
• RQ3 黎曼-希尔伯特对应是否在 $W_n$-可嵌入情形下尊重格罗滕迪克的六个运算，特别是 $f_+$、$f^!$ 和 $τ$-积？
• RQ4 能否在 $\mathcal{D}$-模侧定义一个与 $W_n$-可嵌入簇上 étale 侧的标准 $t$-结构对应的 $t$-结构？
• RQ5 在 $W_n$-可嵌入情形下，格罗滕迪克的加贝罗 perverse $t$-结构在 étale 侧是否对应于 $\mathcal{D}$-模侧的标准 $t$-结构？

主要发现

• 在 $W_n$-可嵌入簇 $X$ 上，局部有限生成单位 $F$-晶体（有限 Tor-维数）的导出范畴 $D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ$ 独立于其嵌入到正规光滑 $W_n$-概形 $P$ 的选择。
• 黎曼-希尔伯特对应诱导出反等价 $D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ \xrightarrow{\cong} D^b_{\rm ctf}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})$，将埃默顿-基辛的结果推广至非光滑提升的簇。
• 黎曼-希尔伯特对应尊重格罗滕迪克的运算：$f_+$ 对应 $f_!$，$f^!$ 对应 $f^{-1}$，$τ$-积对应 $τ$-积。
• 在 $\mathcal{D}$-模侧定义了一个称为构造性 $t$-结构的 $t$-结构，并通过环境 $P$ 的结构证明其独立于 $P$ 的选择。
• 通过黎曼-希尔伯特对应，$D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ$ 上的构造性 $t$-结构与 $D^b_{\rm c}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ 上的标准 $t$-结构对应。
• 当 $n=1$ 时，$\mathcal{D}$-模侧的构造性 $t$-结构对应于 étale 侧的加贝罗 perverse $t$-结构，将埃默顿-基辛的结果扩展至 $W_n$-可嵌入簇。