[论文解读] Right Hom-alternative algebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了乘法右Hom-交替代数的基础性质，证明其在不假设左Hom-交替性的情况下仍为Hom-幂结合与Hom-Jordan可接受。引入了Hom-版本的Albert分解与Moufang恒等式，并构造了无穷多组非同构的右Hom-交替代数，这些代数既非左Hom-交替也非右交替。

ABSTRACT

It is shown that every multiplicative right Hom-alternative algebra is both Hom-power associative and Hom-Jordan admissible. Multiplicative right Hom-alternative algebras admit Albert-type decompositions with respect to idempotents. Multiplication operators defined by idempotents in right Hom-alternative algebras are studied. Hom-versions of some well-known identities in right alternative algebras are proved.

研究动机与目标

• 研究乘法右Hom-交替代数的结构性质，将经典交替代数的结果推广至Hom代数框架。
• 证明乘法右Hom-交替代数即使在不假设左Hom-交替性的情况下，仍为Hom-幂结合与Hom-Jordan可接受。
• 利用幂等元将Albert的分解定理推广至Hom代数背景。
• 在右Hom-交替代数中建立经典恒等式（如Moufang恒等式）的Hom-版本。
• 构造新的乘法右Hom-交替代数例子，这些代数既非左Hom-交替也非右交替，表明该类严格大于此前已知的类。

提出的方法

• 使用Hom-结合子定义 $\text{as}(x,y,z) = (xy)\alpha(z) - \alpha(x)(yz)$，通过恒等式 $\text{as}(x,y,y) = 0$ 定义右Hom-交替代数。
• 通过自弱同态的扭化构造，从已有代数生成新的右Hom-交替代数，推广了已知的构造结果。
• 运用线性化技巧与代数恒等式，包括Hom-Teichmüller恒等式 $\text{as}(x,y,z) + \text{as}(y,z,x) + \text{as}(z,x,y) = 0$，推导出新恒等式。
• 引入Hom-幂等元 $e$（满足 $e^2 = \alpha(e)$）的概念，并利用其定义类似于经典交替代数中Albert分解的分解定理。
• 通过操控Hom-结合子并结合右Hom-交替恒等式 $\text{as}(x,y,y) = 0$ 与线性化，证明Hom-Moufang恒等式。
• 通过参数化构造，构建无穷多组两两非同构的乘法右Hom-交替代数，证明其既非左Hom-交替也非右交替。

实验结果

研究问题

• RQ1 乘法右Hom-交替代数是否为Hom-幂结合？是否可直接证明，而无需依赖左Hom-交替性？
• RQ2 每个乘法右Hom-交替代数是否均为Hom-Jordan可接受？这一性质是否独立于左Hom-交替性成立？
• RQ3 能否利用Hom-幂等元将Albert的分解定理推广至Hom代数背景？
• RQ4 在右Hom-交替代数中，Moufang恒等式等经典恒等式的Hom-版本是否成立？
• RQ5 是否存在既非左Hom-交替也非右交替的乘法右Hom-交替代数？若存在，如何构造？

主要发现

• 每个乘法右Hom-交替代数均为Hom-幂结合，如定理3.2中通过简短直接论证所证明。
• 每个乘法右Hom-交替代数均为Hom-Jordan可接受，即使不假设左Hom-交替性，如定理4.3所示。
• 对乘法右Hom-交替代数，Albert分解的推广成立，代数可分解为与Hom-幂等元相关的分量，如命题5.5所确立。
• 右Hom-交替代数中，Moufang恒等式与Hom-Teichmüller恒等式的Hom-版本均成立，通过系统代数运算得以证明。
• 构造出无穷多组两两非同构的乘法右Hom-交替代数，每个性质均既非左Hom-交替也非右交替，如例2.9所示。
• 右Hom-交替代数中由Hom-幂等元诱导的乘法算子表现出与经典交替代数中类似结构性质，如第6节所研究。