[论文解读] Rigidity and height bounds for certain post-critically finite endomorphisms of projective space

Patrick Ingram|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文建立了在特定一类首一多项式映射（具有全不变超平面且限制为d次幂映射）中，对射影空间上后临界有限（PCF）自同态的Thurston型刚性结果。证明了该族中PCF映射构成可数个0维子簇的并集，并推导出算术高度等价关系，表明PCF映射具有有界Weil高度，且定义在数域上。

ABSTRACT

The holomorphic endomorphism f of projective space is called post-critically finite (PCF) if the forward image of the critical locus, under iteration of f, has algebraic support (i.e., is a finite union of hypersurfaces). In the case of dimension 1, a deep result of Thurston implies that there are no algebraic families of PCF morphisms, other than a well-understood exceptional class known as the flexible Lattes maps. This note proves a corresponding result in arbitrary dimension, for a certain subclass of morphism. Specifically, we restrict attention to morphisms f of degree at least two, with a totally invariant hyperplane H, such that the restriction of f to H is the dth power map in some coordinates. This condition defines a subvariety of the space of coordinate-free endomorphisms of projective space (of a given dimension). We prove that there are no families of PCF maps in this space, and derive several related arithmetic results.

研究动机与目标

• 在射影空间的特定子类自同态中建立后临界有限（PCF）自同态的刚性结果。
• 证明在首一多项式自同态的模空间中，PCF映射的轨迹是可数个0维子簇的并集。
• 在几何Weil高度与临界逃逸率函数之间推导出算术高度等价关系，从而表明PCF映射具有有界高度。
• 证明该族中所有PCF映射均定义在数域上，从而可应用算术几何方法。
• 通过计算验证，在二维情形下对所有PCF映射进行分类，确认其共轭于已知例子。

提出的方法

• 定义射影空间 $\mathbb{P}^N$ 上自同态的一个子类，其全不变超平面 $H$ 满足 $f|_H$ 在坐标下等于 $d$-次幂映射。
• 利用代数几何与形变理论证明，该族中唯一的PCF映射在模空间中是孤立的（即0维的）。
• 基于临界分歧除子轨道的局部 $v$-进分析，定义临界逃逸率函数 $h_{\mathrm{crit}}(f)$。
• 对定义在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的映射，建立高度等价关系 $h_{\mathrm{crit}}(f) = h_{\mathrm{Weil}}(f) + O(1)$，使用 $p$-进与阿基米德估计。
• 应用Weil高度的Northcott性质，推导出该族中PCF映射具有有界高度。
• 在二维情形下使用Sage与Maple进行显式计算与验证，对所有可能的PCF映射进行共轭类分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有全不变超平面的首一多项式映射子类中，是否存在正维的后临界有限自同态族？
• RQ2 能否将该族中映射的临界逃逸率 $h_{\mathrm{crit}}(f)$ 与几何Weil高度 $h_{\mathrm{Weil}}(f)$ 相关联？
• RQ3 该族中所有PCF映射是否具有有界Weil高度，且是否定义在数域上？
• RQ4 在二维情形下，度数为2时，PCF映射的完整共轭类集合是什么？
• RQ5 能否通过计算与算术方法完全分类此类映射的临界轨道结构？

主要发现

• 在代数闭域 $k$（特征为0或 $p > d$）的 $\mathsf{P}^N_d(k)$ 中，PCF映射的轨迹是可数个0维子簇的并集，证明了刚性。
• 所有 $\mathsf{P}^N_d(\mathbb{C})$ 中的PCF映射均定义在 $\mathbb{Q}$ 的有限扩张上，因此属于 $\mathsf{P}^N_d(\overline{\mathbb{Q}})$。
• 对于 $f \in \mathrm{Pow}^N_d(\overline{\mathbb{Q}})$，临界逃逸率 $h_{\mathrm{crit}}(f)$ 与Weil高度 $h_{\mathrm{Weil}}(f)$ 满足 $h_{\mathrm{crit}}(f) = h_{\mathrm{Weil}}(f) + O(1)$，表明PCF映射具有有界高度。
• 在二维度数2的情形下，通过穷举搜索与计算，仅有22组 $(a,b,c,d) \in \mathbb{Z}^4$ 满足 $a,d$ 为偶数且 $|a|,|b|,|c|,|d| \leq 119$ 可能产生PCF映射。
• 剩余的22个PCF映射均共轭于六个已知例子，且其临界轨道结构与单变量PCF映射 $w \mapsto w^2 + c$ 的结构一致。
• 在127个候选组中的105组，通过系数大小估计确认 $\lambda_{\mathrm{crit},\infty}(f) > 0$；其余组则通过更高阶迭代 $f^3_*(C_f)$、$f^4_*(C_f)$ 或 $f^5_*(C_f)$ 验证临界轨道未逃逸。