[论文解读] Arithmetic degrees and dynamical degrees of endomorphisms on surfaces

Yohsuke Matsuzawa, Kaoru Sano+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文证明了在光滑射影曲面上的满同态下，Kawaguchi–Silverman 猜想成立，确立了具有 Zariski 稠密正向轨道的有理点的算术度等于动力度。此外，本文进一步表明，在任意光滑射影代数簇上，对于满同态，此类有理点始终存在；而对于自同构，可构造出具有两两不相交、全复杂度轨道的 Zariski 稠密集有理点。

ABSTRACT

For a dominant rational self-map on a smooth projective variety defined over a number field, Kawaguchi and Silverman conjectured that the (first) dynamical degree is equal to the arithmetic degree at a rational point whose forward orbit is well-defined and Zariski dense. We prove this conjecture for surjective endomorphisms on smooth projective surfaces. For surjective endomorphisms on any smooth projective varieties, we show the existence of rational points whose arithmetic degrees are equal to the dynamical degree. Moreover, we prove that there exists a Zariski dense set of rational points having disjoint orbits if the endomorphism is an automorphism.

研究动机与目标

• 证明光滑射影曲面上满同态的 Kawaguchi–Silverman 猜想。
• 对任意光滑射影代数簇上的满同态，确立存在算术度等于动力度的有理点。
• 对光滑射影代数簇上的自同构，构造出具有两两不相交轨道的 Zariski 稠密集有理点。
• 通过高度函数与 nef 除子，在算术动力系统中推广算术度与动力度的结果。

提出的方法

• 利用存在一个 nef R-除子 D 满足 f∗D ≡ δfD 来定义一个典范高度函数 ĥ(P) = lim (hD(fn(P))/δfn)。
• 应用典范高度函数证明：ĥ(P) > 0 蕴含 αf(P) = δf，从而建立算术度与动力度之间的联系。
• 应用平态有限态射的动态 Mordell–Lang 猜想，以控制轨道交集并确保轨道互不相交。
• 应用大除子与完备交曲线的理论，构造出具有全算术复杂度的点。
• 利用算术度的双有理不变性，将问题约化为更简单的模型，尤其在曲面情形下。
• 应用 Perron–Frobenius 型结果，以确保存在满足特征值条件 f∗D ≡ δfD 的非平凡 nef 除子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑射影曲面上的满同态下，具有 Zariski 稠密正向轨道的有理点的算术度是否等于动力度？
• RQ2 能否在任意光滑射影代数簇上的任意满同态下，找到算术度等于动力度的有理点？
• RQ3 在光滑射影代数簇上的自同构下，是否存在一个 Zariski 稠密集的有理点，其轨道两两不相交？
• RQ4 在什么条件下，典范高度函数 ĥ(P) 为正，从而推出 αf(P) = δf？
• RQ5 在曲面及高维代数簇上，nef 与大除子的性质如何影响具有全算术复杂度的点的存在性？

主要发现

• Kawaguchi–Silverman 猜想对所有光滑射影曲面上的满同态均成立。
• 对任意光滑射影代数簇上的满同态，存在一个有理点 P，使得 αf(P) = δf。
• 对光滑射影代数簇上的自同构，存在一个 Zariski 稠密集 S 的有理点，使得对所有 P ∈ S，有 αf(P) = δf，且其轨道两两不相交。
• 典范高度函数 ĥ(P) 存在，且满足 ĥ(P) = hD + O(√hH)，且 ĥ(P) > 0 蕴含 αf(P) = δf。
• 在任意满足 δf > 1 的光滑射影代数簇上，存在无穷多个位于完备交曲线 C 上的点，使得 αf(P) = δf。
• 存在非零的 nef R-除子 D 满足 f∗D ≡ δfD，可确保典范高度函数定义良好，并支持构造具有全算术度的点。