[论文解读] Robust periodic stability implies uniform exponential stability of Markovian jump linear systems and random linear ordinary differential equations

Xiongping Dai|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 46被引用 3

一句话总结

本文证明了在离散时间马尔可夫跳跃线性系统和由具有周期轨线闭包性质的半流驱动的随机线性随机微分方程中，鲁棒周期稳定性蕴含一致指数稳定性。通过利用周期轨线对李雅普诺夫指数进行逼近以及善涛·廖的摄动技术，作者推导出一种新颖的盖尔范德-伯杰-王公式，从而证明了鲁棒周期稳定性与一致指数稳定性之间的等价性，解决了长期悬而未决的关于谱有限性与鲁棒性的问题。

ABSTRACT

In this paper we show that if a linear cocycle is robustly periodical stable then it is uniformly stable.

研究动机与目标

• 在离散时间马尔可夫跳跃线性系统中，建立鲁棒周期稳定性与一致指数稳定性之间的等价性。
• 将该等价性推广至由具有周期轨线闭包性质的半流驱动的随机线性随机微分方程。
• 解决线性柯西积系理论中关于谱有限性与鲁棒性条件的开放问题。
• 通过周期轨线对李雅普诺夫指数的逼近，为马尔可夫跳跃系统建立盖尔范德-伯杰-王公式。
• 构造线性柯西积系谱有限性猜想与稳定性分析中鲁棒性条件的反例。

提出的方法

• 通过利用周期轨线逼近李雅普诺夫指数，推导出马尔可夫跳跃线性系统的盖尔范德-伯杰-王公式。
• 应用微分动力系统中善涛·廖的摄动技术，分析随机线性随机微分方程的稳定性。
• 利用半一致遍历定理，将联合谱半径与非游荡集及周期轨线上的行为联系起来。
• 运用遍历理论分析具有周期轨线闭包性质的动力系统上线性柯西积系的稳定性。
• 构造反例，证明线性柯西积系的谱有限性不普遍成立，且稳定性分析中的鲁棒性条件不充分。
• 通过符号空间与半流上的拓扑与测度论论证，建立一致指数稳定性与鲁棒周期稳定性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在离散时间马尔可夫跳跃线性系统中，鲁棒周期稳定性是否蕴含一致指数稳定性？
• RQ2 鲁棒周期稳定性与一致指数稳定性之间的等价性能否推广至由具有周期轨线闭包性质的半流驱动的随机线性随机微分方程？
• RQ3 对于具有周期轨线结构的动力系统，一般线性柯西积系的谱有限性性质是否成立？
• RQ4 能否在不假设转移矩阵不可约或非周期性的情况下，为马尔可夫跳跃系统建立盖尔范德-伯杰-王公式？
• RQ5 在切换线性系统稳定性分析中，鲁棒性条件的局限性是什么？

主要发现

• 在不施加任何关于马尔可夫转移矩阵的额外假设下，离散时间马尔可夫跳跃线性系统一致指数稳定当且仅当其鲁棒周期稳定。
• 对于由具有周期轨线闭包性质的半流驱动的随机线性随机微分方程，一致指数稳定性与鲁棒周期稳定性等价。
• 通过周期轨线逼近李雅普诺夫指数，为马尔可夫跳跃系统证明了一种新的盖尔范德-伯杰-王公式。
• 具有周期轨线闭包性质的动力系统的线性柯西积系的联合谱半径等于其在周期轨线上的最大范数的下确界。
• 构造了反例，表明线性柯西积系的谱有限性在一般情况下不成立。
• 鲁棒性条件——周期轨线上谱半径的一致有界性——不足以保证一致指数稳定性，凸显了稳定性判据中一个微妙的差异。