[论文解读] Robustness of critical U(1) spin liquids and emergent symmetries in tensor networks

Henrik Dreyer, Laurens Vanderstraeten+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2020

Quantum many-body systems参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文通过场论和数值模拟研究了张量网络中U(1)自旋液体及涌现对称性的鲁棒性。结果表明，以长程 singlet 为掺杂的临界U(1)自旋液体是一种相关扰动，会打开能隙，但能隙开启极为缓慢，从而解释了先前数值模拟中观察到的长关联长度。关键的是，本文首次在U(1)对称性被破坏的扰动下，为PEPS波函数中涌现U(1)对称性提供了数值证据，条件是Luttinger参数K < 1/2。

ABSTRACT

We study the response of critical Resonating Valence Bond (RVB) spin liquids to doping with longer-range singlets, and more generally of U(1)-symmetric tensor networks to non-symmetric perturbations. Using a field theory description, we find that in the RVB, doping constitutes a relevant perturbation which immediately opens up a gap, contrary to previous observations. Our analysis predicts a very large correlation length even at significant doping, which we verify using high-accuracy numerical simulations. This emphasizes the need for careful analysis, but also justifies the use of such states as a variational ansatz for critical systems. Finally, we give an example of a PEPS where non-symmetric perturbations do not open up a gap and the U(1) symmetry re-emerges.

研究动机与目标

• 确定U(1)纠缠对称性在PEPS中是否对维持临界性至关重要，或是否可在扰动下动态涌现。
• 解决场论预测（能隙打开）与数值观测（长关联长度）在掺杂RVB态中看似矛盾的问题。
• 确定在U(1)对称性被扰动破坏后，U(1)对称性能否在PEPS中重新出现的条件。
• 为分析张量网络态中临界相的稳定性，提供一个场论框架。
• 提出并验证一个PEPS模型，其中尽管哈密顿量显式破坏了U(1)对称性，U(1)对称性仍能动态涌现。

提出的方法

• 采用有效场论描述转移矩阵为具有Luttinger参数K的Luttinger液体。
• 将破坏U(1)对称性的扰动分析为场论中的相关算符，其标度维数由1/K决定。
• 使用角落转移矩阵（CTM）方法进行高精度数值模拟，提取长达10^4个自旋的关联长度。
• 利用sine-Gordon模型定量预测关联长度随掺杂强度的变化规律。
• 采用具有磁质h的6-vertex模型构建K < 1/2的PEPS，从而实现U(1)对称性的涌现。
• 通过数值测量与U(1)对称性相关的算符的关联函数，检测其幂律衰减是否一致，以识别涌现对称性。

Figure 1: (a) RVB and dimer model. Numbers in the plaquettes are the height potential $h(\vec{x})$ obtained from the $\mathrm{U}(1)$ Gauss law (red). (b) PEPS tensor for the RVB state. The green line is the identity on the $\{\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle\}$ space, and all rotations are

实验结果

研究问题

• RQ1 临界PEPS波函数中的U(1)对称性是否对维持临界性至关重要，还是可在扰动下动态涌现？
• RQ2 为何掺杂RVB态的数值模拟显示长关联长度，尽管场论预测会立即打开能隙？
• RQ3 在U(1)对称性被显式扰动破坏后，U(1)对称性在PEPS中于何种条件下可重新出现？
• RQ4 Luttinger参数K < 1/2是否可导致PEPS在红外极限下出现U(1)对称性？
• RQ5 可用于检测张量网络态中涌现U(1)对称性的数值特征是什么？

主要发现

• 将长程singlet掺杂于RVB态，在场论中属于相关扰动，应立即打开能隙，与早期数值观测相矛盾。
• 由于扰动的标度维数极小，能隙开启极为缓慢，从而解释了模拟中观察到的长关联长度（最高达10^4个自旋）。
• 高精度CTM模拟确认了关联长度达到约10^4的数量级，与sine-Gordon模型的预测一致。
• 当K < 1/2时，U(1)破坏性扰动不会使系统打开能隙，且与U(1)对称性相关的算符的关联函数以相同的幂律衰减。
• 数值证据显示，在h = 0.48（K = 0.435）时，U(1)相关关联函数的衰减标度完全一致，表明在红外区出现涌现U(1)对称性。
• 本工作首次在PEPS中观察到涌现U(1)对称性，该现象在K < 1/2的6-vertex模型PEPS中，于U(1)破坏性扰动下实现。

Figure 2: Luttinger parameter $K$ obtained via different methods: $\mathbb{E}_{Q}$ and vison correlators ( $K_{\mathbb{E}_{Q}}$ , $K_{\mathrm{vison}}$ ), and finite size extrapolation ( $L=6,8$ ) of the transfer matrix spectrum ( $K_{\mathrm{TM}}$ ). The good agreement up to $\lambda\approx 0.5$ is