[论文解读] Rough Homogenisation with Fractional Dynamics

Johann Gehringer, Xuemei Li|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 88被引用 4

一句话总结

本文为由分数阶噪声驱动的两尺度随机系统发展了一套基于粗糙路径的均值化理论，将经典的扩散均值化理论扩展至非马氏、长程依赖的设定。通过粗糙连续性和分数阶平均化，建立了有效动力学的收敛性，并证明了非强混合、分数阶Ornstein–Uhlenbeck快速动力学的极限定理，其协方差结构明确。

ABSTRACT

We review recent developments of slow/fast stochastic differential equations, and also present a new result on Diffusion Homogenisation Theory with fractional and non-strong-mixing noise and providing new examples. The emphasise of the review will be on the recently developed effective dynamic theory for two scale random systems with fractional noise: Stochastic Averaging and `Rough Diffusion Homogenisation Theory'. We also study the geometric models with perturbations to symmetries.

研究动机与目标

• 将经典的扩散均值化理论扩展至受分数阶噪声驱动的系统，特别是非马氏与非强混合的快速动力学。
• 发展一种基于粗糙路径的均值化框架，以容纳分数阶布朗运动与长程依赖性。
• 为分数阶过程的泛函加法泛函建立中心极限定理（CLT），从而实现有效动力学的推导。
• 分析在扰动下慢/快系统几何结构对称性的影响，尤其在分数阶噪声背景下的情形。
• 提供由非维纳过程驱动的有效动力学的新实例，包括分数阶与基于Volterra核的噪声。

提出的方法

• 利用粗糙路径拓扑处理分数阶布朗运动在均值化中非半鞅性质的问题。
• 应用粗糙连续性方法，证明在分数阶快速动力学下慢尺度过程的收敛性。
• 通过快速过程的平稳性与遍历性，将时间积分分解为若干块。
• 利用平移不变性与遍历理论论证，控制涉及快速过程的双重积分中的交叉项。
• 应用Birkhoff遍历定理与协方差衰减估计，证明求和项收敛至确定性极限。
• 通过快速过程不变测度的平均化推导有效动力学，即使快速动力学是非马氏的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的扩散均值化理论扩展至具有长程依赖性的分数阶噪声驱动的系统？
• RQ2 在快速动力学为非强混合且分数阶时，何种条件可确保慢尺度过程的收敛性？
• RQ3 基于粗糙路径的方法能否为具有非马氏快速分量的两尺度系统提供有效动力学？
• RQ4 当快速噪声为分数阶Ornstein–Uhlenbeck过程时，极限有效动力学的结构是什么？
• RQ5 在分数阶噪声存在的情况下，对对称性的几何扰动如何影响均值化极限？

主要发现

• 本文为分数阶Ornstein–Uhlenbeck过程的泛函加法泛函建立了功能性中心极限定理（CLT），从而在均值化框架下实现了有效动力学的推导。
• 慢尺度过程的极限依分布收敛至一个带漂移与扩散系数的扩散过程，其系数通过快速过程不变测度的平均化获得。
• 即使快速噪声是非马氏且非强混合的，极限下的有效动力学仍与快速过程无关。
• 收敛性通过粗糙连续性方法证明，该方法利用了分数阶噪声的Hölder正则性与时间积分的结构。
• 双重积分项的极限被证明收敛至一个涉及快速过程协方差结构的确定性表达式。
• 该方法适用于Volterra核移动平均与其它非马氏快速动力学，超越了标准马氏设定的范围。