[论文解读] Sampling and Counting Edges via Vertex Accesses.

Jakub Tětek, Mikkel Thorup|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 7

一句话总结

本论文提出了一套高效的算法，仅通过顶点访问即可实现图中边的采样与计数，其中每次查询可揭示一个顶点的度数及其邻居。该方法在 $\epsilon$-均匀边采样和精确均匀采样 $s$ 条边方面实现了最优的期望时间复杂度，并给出了匹配的下界；同时在边计数方面实现了近似最优的查询复杂度，优于以往的工作。

ABSTRACT

We consider the problems of sampling and counting edges from a graph on $n$ vertices where our basic access is via uniformly sampled vertices. When we have a vertex, we can see its degree, and access its neighbors. Eden and Rosenbaum [SOSA 2018] have shown it is possible to sample an edge $\epsilon$-uniformly in $O(\sqrt{1/\epsilon}\frac{n}{\sqrt{m}})$ vertex accesses. Here, we get down to expected $O(\log(1/\epsilon)\frac{n}{\sqrt{m}})$ vertex accesses. Next, we consider the problem of sampling $s>1$ edges. For this we introduce a model that we call hash-based neighbor access. We show that, w.h.p, we can sample $s$ edges exactly uniformly at random, with or without replacement, in $ ilde{O}(\sqrt{s} \frac{n}{\sqrt{m}} + s)$ vertex accesses. We present a matching lower bound of $\Omega(\sqrt{s} \frac{n}{\sqrt{m}} + s)$ which holds for $\epsilon$-uniform edge multi-sampling with some constant $\epsilon>0$ even though our positive result has $\epsilon=0$. We then give an algorithm for edge counting. W.h.p., we count the number of edges to within error $\epsilon$ in time $ ilde{O}(\frac{n}{\epsilon\sqrt{m}} + \frac{1}{\epsilon^2})$. When $\epsilon$ is not too small (for $\epsilon \geq \frac{\sqrt m}{n}$), we present a near-matching lower-bound of $\Omega(\frac{n}{\epsilon \sqrt{m}})$. In the same range, the previous best upper and lower bounds were polynomially worse in $\epsilon$. Finally, we give an algorithm that instead of hash-based neighbor access uses the more standard pair queries (``are vertices $u$ and $v$ adjacent''). W.h.p. it returns $1+\epsilon$ approximation of the number of edges and runs in expected time $ ilde{O}(\frac{n}{\epsilon \sqrt{m}} + \frac{1}{\epsilon^4})$. This matches our lower bound when $\epsilon$ is not too small, specifically for $\epsilon \geq \frac{m^{1/6}}{n^{1/3}}$.

研究动机与目标

• 设计仅通过顶点访问即可高效采样与计数图中边的算法。
• 将 $\epsilon$-均匀边采样的查询复杂度从 $O(\sqrt{1/\epsilon} \cdot n / \sqrt{m})$ 降低至 $O(\log(1/\epsilon) \cdot n / \sqrt{m})$ 的期望顶点访问次数。
• 引入并利用基于哈希的邻居访问模型，以实现 $s$ 条边的精确均匀采样，且查询复杂度最优。
• 在顶点访问模型下建立边采样与计数的紧致下界，与上界在关键情形下匹配。
• 将结果扩展至标准的成对查询模型，提供边计数的近乎最优近似算法。

提出的方法

• 引入基于哈希的邻居访问模型，以实现 $s$ 条边的高效且精确的均匀采样。
• 采用一种新颖的采样策略，利用顶点度数与邻居访问，实现 $\epsilon$-均匀边采样，期望顶点访问次数为 $O(\log(1/\epsilon) \cdot n / \sqrt{m})$。
• 结合顶点采样与邻居探测，以 $\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^2)$ 时间内估计边数，误差在 $\epsilon$-相对误差范围内。
• 应用浓度不等式与概率分析，证明采样与计数结果的高概率正确性。
• 推导出 $\epsilon$-均匀多采样所需的下界为 $\Omega(\sqrt{s} \cdot n / \sqrt{m} + s)$，证明所提算法的最优性。
• 将方法适配至标准成对查询模型，在 $\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^4)$ 期望时间内实现边计数的 $1+\epsilon$ 近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相同的精度保证下，是否能以显著少于以往方法的顶点访问次数实现边采样？
• RQ2 是否可能在基于哈希的邻居访问模型下，以最优查询复杂度实现 $s$ 条边的精确均匀采样？
• RQ3 在顶点访问模型下，边采样与计数的信息论极限是什么？
• RQ4 在基于哈希的邻居访问模型与标准成对查询模型之间，边计数算法的性能表现如何比较？
• RQ5 能否为边采样与计数建立紧致的下界，使其与所提算法的上界相匹配？

主要发现

• 本论文在 $\epsilon$-均匀边采样中实现了 $O(\log(1/\epsilon) \cdot n / \sqrt{m})$ 的期望顶点访问次数，优于以往的 $O(\sqrt{1/\epsilon} \cdot n / \sqrt{m})$ 上界。
• 提出了一种算法，可在基于哈希的邻居访问模型下，以 $\tilde{O}(\sqrt{s} \cdot n / \sqrt{m} + s)$ 的顶点访问次数，精确均匀地随机采样 $s$ 条边（有放回或无放回）。
• 为 $\epsilon$-均匀多采样建立了 $\Omega(\sqrt{s} \cdot n / \sqrt{m} + s)$ 的匹配下界，证明了该算法的最优性。
• 对于 $\epsilon$-相对误差范围内的边计数，该算法以高概率在 $\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^2)$ 时间内运行。
• 当 $\epsilon \geq \sqrt{m}/n$ 时，证明了下界为 $\Omega(n/(\epsilon \sqrt{m}))$，与上界仅相差对数因子。
• 在标准成对查询模型下，该算法在 $\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^4)$ 的期望时间内实现了边计数的 $1+\epsilon$ 近似，且当 $\epsilon \geq m^{1/6}/n^{1/3}$ 时，与下界匹配。