[论文解读] Schur-class multipliers on the Fock space: de Branges-Rovnyak reproducing kernel spaces and transfer-function realizations

Joseph A. Ball, Vladimir Bolotnikov+1 more|ArXiv.org|Oct 20, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 30被引用 19

一句话总结

本文引入了福克空间上非交换 Fock-空间类 de Branges-Rovnyak 重叠核希尔伯特空间的类比，并确立了福克空间上每个施瓦尔兹类乘子均存在唯一的可观测、共等距传递函数实现，其状态空间为 $\mathcal{H}(K_S)$。关键贡献在于对内施瓦尔兹类乘子的实现理论表征，以及一种可构造具有预设左零结构乘子的演算方法。结果以左右对称的形式表述，与经典单变量情形高度一致。

ABSTRACT

We introduce and study a Fock-space noncommutative analogue of reproducing kernel Hilbert spaces of de Branges-Rovnyak type. Results include: use of the de Branges-Rovnyak space ${\mathcal H}(K_{S})$ as the state space for the unique (up to unitary equivalence) observable, coisometric transfer-function realization of the Schur-class multiplier $S$, realization-theoretic characterization of inner Schur-class multipliers, and a calculus for obtaining a realization for an inner multiplier with prescribed left zero-structure. In contrast with the parallel theory for the Arveson space on the unit ball ${\mathbb B}^{d} \subset {\mathbb C}^{d}$ (which can be viewed as the symmetrized version of the Fock space used here), the results here are much more in line with the classical univariate case, with the extra ingredient of the existence of all results having both a ``left'' and a ``right'' version.

研究动机与目标

• 在福克空间设定下，发展 de Branges-Rovnyak 重叠核希尔伯特空间的非交换类比。
• 通过可观测、共等距传递函数实现，表征福克空间上的施瓦尔兹类乘子。
• 在非交换福克空间框架下，提供内施瓦尔兹类乘子的实现理论表征。
• 在此设定下，发展一种构造具有预设左零结构的内乘子的演算方法。

提出的方法

• 作者将 de Branges-Rovnyak 空间 $\mathcal{H}(K_S)$ 定义为福克空间上施瓦尔兹类乘子 $S$ 的传递函数实现的状态空间。
• 他们采用共等距传递函数实现形式 $S(z) = D + C(I - Z(z)A)^{-1}Z(z)B$，其中 $\mathbf{U} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ 为酉共轭。
• 该实现通过来自输入对 $({\mathbf{Z}}, X)$ 的输出对 $(C, \mathbf{A})$ 构造，其中 $\mathbf{Z}^*$ 强稳定且 $X$ 为等距算子。
• 应用 Cholesky 分解以构造算子 $\begin{bmatrix} B \\ D \end{bmatrix}$，使得 $\mathbf{U}$ 为共等距。
• 证明空间 $\mathcal{M}_{\mathbf{Z},X} = \ker \mathcal{C}_{\mathbf{Z},X}$ 等于 $\theta \cdot H^2_{\mathcal{U}}(\mathcal{F}_d)$，其中 $\theta$ 为内乘子，利用 $\mathcal{H}(K_{\theta}) = \mathcal{H}(K_{C,\mathbf{A}})$ 的等距包含关系。
• 在整个过程中保持左右结构的对偶性，左右实现形式对称。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 de Branges-Rovnyak 空间推广至非交换福克空间设定，以支持施瓦尔兹类乘子理论？
• RQ2 福克空间上施瓦尔兹类乘子的唯一可观测、共等距传递函数实现是什么？
• RQ3 在该非交换语境下，如何利用实现理论表征内施瓦尔兹类乘子？
• RQ4 能否在此设定下发展一种演算，以构造具有预设左零结构的内乘子？
• RQ5 为何福克空间情形的结果比阿夫森空间设定更接近经典单变量情形？

主要发现

• de Branges-Rovnyak 空间 $\mathcal{H}(K_S)$ 作为福克空间上任意施瓦尔兹类乘子 $S$ 的唯一可观测、共等距传递函数实现的状态空间。
• 每个施瓦尔兹类乘子 $S$ 均可实现为形式 $S(z) = D + C(I - Z(z)A)^{-1}Z(z)B$，其中共等距共轭为 $\mathbf{U} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$。
• 内施瓦尔兹类乘子 $\theta$ 被实现为共等距共轭的传递函数，且 $\theta \cdot H^2_{\mathcal{U}}(\mathcal{F}_d) = \ker \mathcal{C}_{\mathbf{Z},X}$，其中 $({\mathbf{Z}}, X)$ 为适定输入对。
• 通过缺陷算子 $I - \begin{bmatrix} A \\ C \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A^* & C^* \end{bmatrix}$ 的 Cholesky 分解，实现具有预设左零结构的内乘子。
• $\mathcal{H}(K_{\theta})$ 等距等于 $\mathcal{H}(K_{C,\mathbf{A}})$，且该空间与 $\operatorname{Ran} \mathcal{O}_{C,\mathbf{A}}$ 重合，后者等距包含于 $H^2_{\mathcal{Y}}(\mathcal{F}_d)$ 中。
• 结果在左右表述上对称，体现了与经典单变量情形高度一致的对偶性，与阿夫森空间设定不同。