[论文解读] Search by quantum walks on two-dimensional grid without amplitude amplification

Andris Ambainis, Artūrs Bačkurs+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文表明，在二维网格上进行的量子行走搜索可在 $O(\sqrt{N\log N})$ 步内以常数概率将目标节点定位在 $O(\sqrt[4]{N})$ 邻域内，且无需使用振幅放大。通过利用靠近目标位置的高概率性，该方法避免了振幅放大带来的 $O(\sqrt{\log N})$ 开销，从而相较于先前方法实现了 $O(\sqrt{\log N})$ 的加速。

ABSTRACT

We study search by quantum walk on a finite two dimensional grid. The algorithm of Ambainis, Kempe, Rivosh (quant-ph/0402107) takes O(\sqrt{N log N}) steps and finds a marked location with probability O(1/log N) for grid of size \sqrt{N} * \sqrt{N}. This probability is small, thus amplitude amplification is needed to achieve Θ(1) success probability. The amplitude amplification adds an additional O(\sqrt{log N}) factor to the number of steps, making it O(\sqrt{N} log N). In this paper, we show that despite a small probability to find a marked location, the probability to be within an O(\sqrt{N}) neighbourhood (at an O(\sqrt[4]{N}) distance) of the marked location is Θ(1). This allows to skip amplitude amplification step and leads to an O(\sqrt{log N}) speed-up. We describe the results of numerical experiments supporting this idea, and we prove this fact analytically.

研究动机与目标

• 分析在 $O(\sqrt{N\log N})$ 步后，二维网格上量子行走搜索的概率分布。
• 确定在距离目标节点 $O(\sqrt[4]{N})$ 范围内时，其概率是否保持为常数，即使测量到确切目标节点的概率很小。
• 证明可通过在输出态上使用经典后处理来避免振幅放大，从而提升运行时间。

提出的方法

• 该研究分析了具有周期性边界条件的 $\sqrt{N} \times \sqrt{N}$ 网格上的量子行走，采用具有四维量子比特寄存器的 coined 量子行走模型。
• 该算法在非目标节点上应用 Grover 的扩散算符 $D$，在目标节点上应用 $-I$，而移动操作保持不变。
• 分析聚焦于 $O(\sqrt{N\log N})$ 步后的状态演化，表明内积 $\langle \psi(t) | \psi(0) \rangle$ 变得很小，表明与均匀态有显著偏离。
• 该论文通过三角恒等式求和界限和渐近分析，严格证明了距离目标节点 $O(\sqrt[4]{N})$ 范围内的概率为 $\Theta(1)$。
• 推导了形如 $\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos(2\pi n^{\epsilon-1}k)}{k}$ 的求和界限，以表明振幅的主要贡献集中在目标节点的邻域内。
• 该方法通过依赖经典后处理从高概率邻域中提取目标节点，从而避免了振幅放大，节省了 $O(\sqrt{\log N})$ 步。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $O(\sqrt{N\log N})$ 步后，二维网格上量子行走状态的概率分布如何，特别是其与目标节点的接近程度？
• RQ2 即使测量到确切目标节点的概率为 $O(1/\log N)$，是否仍可保证在 $O(\sqrt[4]{N})$ 距离范围内的概率远离零？
• RQ3 是否可以通过在输出态上使用经典后处理，而非使用振幅放大，实现常数成功概率的搜索？
• RQ4 涉及 $n^{\epsilon-1}$ 的三角恒等式求和的渐近行为如何影响量子行走中的振幅分布？
• RQ5 跳过振幅放大对量子行走搜索整体运行时间复杂度有何影响？

主要发现

• 在 $O(\sqrt{N\log N})$ 步后，距离目标节点 $O(\sqrt[4]{N})$ 范围内的概率为 $\Theta(1)$，即保持远离零。
• 尽管测量到确切目标节点的概率为 $O(1/\log N)$，但在其 $O(\sqrt[4]{N})$ 邻域内的概率仍为常数，从而可通过经典后处理定位目标节点。
• 通过在输出态上使用经典后处理从邻域中提取目标节点，避免了振幅放大，否则将增加 $O(\sqrt{\log N})$ 步。
• 该分析证明依赖于对形如 $\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos(2\pi n^{\epsilon-1}k)}{k}$ 的求和进行有界处理，表明其为 $O(\ln n)$，并利用对称性抵消振荡分量。
• 该方法相较于标准的带振幅放大的量子行走搜索（总运行时间为 $O(\sqrt{N}\log N)$）实现了 $O(\sqrt{\log N})$ 的加速。
• 数值实验支持分析结果，确认振幅集中在目标节点的常数概率邻域内。