[论文解读] Second Order Asymptotic Properties for the Tail Probability of the Number of Customers in the M/G/1 Retrial Queue

Liu Bin, Yiqiang Q. Zhao|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 41被引用 3

一句话总结

本文首次为重尾服务时间的M/G/1重试排队系统中顾客数量的尾部概率提供了二阶渐近展开。通过使用特定的慢变函数对一阶近似进行改进，该研究更准确地刻画了收敛速度，并显著提升了尾部概率估计的精度，尤其是在高负载场景下。

ABSTRACT

When an explicit expression for a probability distribution function $F(x)$ can not be found, asymptotic properties of the tail probability function $\bar{F}(x)=1-F(x)$ are very valuable, since they provide approximations or bounds for system performance, and approaches for computing probability distribution. In this paper, we study tail asymptotic properties for the number of the customers in the $M/G/1$ retrial queueing system. For queueing systems, studies on asymptotic tails have mainly concentrated on the first order asymptotic behavior. To best our knowledge, there is no second order tail asymptotic analysis for retrial queueing models with heavy-tailed service time. Second order asymptotic expansions provide the refined asymptotic results from the first order approximation, and are often more difficult to obtain as expected. The main contribution of this paper is the second order asymptotic analysis for the $M/G/1$ retrial queue.

研究动机与目标

• 为解决重试排队模型中缺乏二阶渐近分析，特别是顾客数量尾部概率方面的不足。
• 通过识别二阶项，改进顾客数量平稳队列长度尾部概率的一阶渐近近似。
• 通过更精确的二阶展开，刻画一阶近似的收敛速度。
• 改进具有重尾服务时间的重试排队系统性能估计与计算方法。
• 通过提供考虑重试与标准M/G/1系统差异的精细化渐近展开，拓展先前的研究工作。

提出的方法

• 推导了尾部概率 $ P\big\bracevert L_\nu > j \big\bracevert $ 的二阶渐近展开，其中 $ L_\nu $ 表示M/G/1重试排队系统中顾客的平稳数量。
• 采用正则变化的服务时间分布 $ \bar{F}_\beta(t) \thicksim t^{-a}L(t) $，其中 $ a > 2 $，并在假设A下指定慢变函数 $ L(t) $，以支持二阶分析。
• 应用更新理论与拉普拉斯-史蒂尔杰斯变换分析平稳分布并推导渐近展开。
• 将一阶近似 $ \text{Apprx1} \thicksim c_1 j^{-a+1} L(j) $ 与二阶近似 $ \text{Apprx2} = \text{Apprx1} + \triangle_L^{\text{app}}(j) $ 进行比较，其中 $ \triangle_L^{\text{app}}(j) $ 捕获了二阶校正项。
• 通过数值实验验证近似精度的提升，计算相对改进率 $ \text{Imprv} = \frac{\triangle_L(j)}{\text{Apprx2}} \times 100\% $。
• 通过比较 $ j^{-a+1}L(j) $ 与 $ j^{-a}L(j) $ 的阶数，确立二阶展开，解决了先前工作中未解决的模糊性（例如，Liu等，2017年）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有重尾服务时间的M/G/1重试排队系统中顾客数量的尾部概率，其二阶渐近展开是什么？
• RQ2 二阶项如何改进一阶近似？它在提升收敛速度估计中的作用是什么？
• RQ3 能否在二阶渐近展开中捕捉到重试队列与标准M/G/1队列之间的差异？
• RQ4 当引入二阶项时，尾部概率近似在数量上的改进程度如何？
• RQ5 在何种慢变函数 $ L(t) $ 条件下，可以严格推导出二阶展开？

主要发现

• 本文首次为M/G/1重试排队系统中顾客数量的尾部概率建立了二阶渐近展开，显著改进了一阶近似。
• 当 $ a = 2.5 $，$ h = 2 $，且 $ \rho = 0.8 $ 时，在 $ j = 200 $ 处，二阶近似使相对误差最多降低16.1%，在高负载区域中改进幅度超过50%。
• 相对改进率 $ \text{Imprv} $ 随 $ j $ 增大而减小，表明随着 $ j $ 增大，二阶项在捕捉真实尾部行为方面变得越来越有效。
• 二阶项 $ \triangle_L^{\text{app}}(j) $ 的阶为 $ j^{-a}L(j) $，虽小于一阶项 $ j^{-a+1}L(j) $，但对精确校正至关重要。
• 该分析解决了先前工作中的一项关键局限（Liu等，2017年）：由于阶比较问题，无法直接将 $ P\big\bracevert L_\nu > j \big\bracevert $ 与 $ P\big\bracevert L_\nu > j \big\bracevert $ 的一阶差值用作二阶项。
• 数值结果表明，二阶近似显著优于一阶近似，尤其在 $ \rho $ 较高时（如 $ \rho = 0.8 $），对于中等 $ j $ 值，改进幅度超过50%。