[论文解读] Second Order BSDEs with Jumps: Existence and probabilistic representation for fully-nonlinear PIDEs
本文建立了带跳的二阶倒向随机微分方程（2BSDEJs）的存在性及其概率表示，通过使用正规条件概率分布的直接方法，提供了完整的适定性理论。证明了2BSDEJ的解对应于完全非线性抛物型积分微分方程（PIDEs）的粘性解，将非线性Feynman-Kac公式推广至具有模型不确定性的跳扩散设定。
In this paper, we pursue the study of second order BSDEs with jumps (2BSDEJs for short) started in our accompanying paper [15]. We prove existence of these equations by a direct method, thus providing complete wellposedness for 2BSDEJs. These equations are a natural candidate for the probabilistic interpretation of some fully non-linear partial integro-differential equations, which is the point of the second part of this work. We prove a non-linear Feynman-Kac formula and show that solutions to 2BSDEJs provide viscosity solutions of the associated PIDEs.
研究动机与目标
- 通过直接方法证明存在性，为带跳的二阶倒向随机微分方程（2BSDEJs）建立完整的适定性理论。
- 将非线性Feynman-Kac公式推广至跳扩散设定，将2BSDEJs与完全非线性抛物型积分微分方程（PIDEs）联系起来。
- 在模型不确定性下，为完全非线性PIDEs的粘性解提供概率解释，尤其关注跳过程的影响。
- 将2BSDE框架从连续扩散过程推广至跳跃过程，同时纳入布朗运动与泊松随机测度。
- 通过构建统一的概率方法，弥合随机控制、非线性PDE与金融数学之间的鸿沟，适用于非马氏性、非线性且含跳的PIDEs。
提出的方法
- 基于正规条件概率分布，采用直接存在性证明方法，避免依赖近似或对偶方法。
- 在由布朗运动与泊松随机测度生成的带滤子概率空间上定义2BSDEJs，其生成元$ g $依赖于解及其控制变量。
- 应用带跳的标准BSDE的比较定理，推导先验估计与稳定性结果。
- 通过在状态空间上使用球的可数覆盖进行划分，构造逼近概率测度，并验证动态规划原理。
- 利用在非支配概率测度类上对2BSDEJs的必要上确界表示，将其与PIDEs的粘性解联系起来。
- 应用带跳的BSDE的稳定性与比较结果，处理下确界连续性及停止时间的极限论证。
实验结果
研究问题
- RQ1能否通过直接方法建立带跳的二阶BSDE的完整适定性理论，而无需依赖对偶或近似方法？
- RQ22BSDEJ的解是否能为包含跳分量的完全非线性PIDEs的粘性解提供概率表示？
- RQ3在模型不确定性的背景下，底层过程中的跳分量如何影响完全非线性PDE解的表示？
- RQ4非Lipschitz生成元的跳扩散过程下，非线性Feynman-Kac公式是否可被推广？
- RQ5正规条件概率分布在非支配概率测度下构造2BSDEJ解的过程中起到何种作用？
主要发现
- 本文通过直接方法证明了2BSDEJs解的存在性，为该类方程提供了完整的适定性理论。
- 证明了2BSDEJ的解是相关完全非线性PIDEs的粘性解，将经典非线性Feynman-Kac公式推广至跳扩散设定。
- 在模型不确定性下，该概率表示依然成立，解被定义为在一类非支配概率测度上的必要上确界。
- 该方法依赖于通过状态空间划分构造逼近概率测度，并利用带跳BSDE的比较定理推导稳定性与收敛性。
- 值函数$ u $在$ (t,x) $上关于$ t $的右下半连续性已足够，可通过极限论证将表示推广至一般停止时间。
- 结果推广了先前在连续情形下对2BSDEs的研究工作，并为含跳的完全非线性PIDEs的概率方法提供了严格的理论基础。
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