[论文解读] Second Order $L^\infty$ Variational Problems and the $\infty$-Polylaplacian

Nikos Katzourakis, Tristan Pryer|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用 14

一句话总结

本文引入了第二类 $L^\infty$ 变分问题，即最小化关于 Hessian 的函数的 $L^\infty$ 范数，推导出完全非线性的三阶 PDE——$\boldsymbol{\mathrm{A}}^2_\infty$ 方程——作为 Euler-Lagrange 方程的 $L^\infty$ 类比。主要贡献在于通过 Baire 族方法和 Young 测度方法，严格推导并分析了 $\infty$-Polylaplacian 和 $\infty$-Bilaplacian 方程，建立了广义解（$\mathcal{D}$-解）的存在性、唯一性及变分表征。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of $2$nd order variational problems in $L^\infty$, seeking to minimise the $L^\infty$ norm of a function of the hessian. We also derive and study the respective PDE arising as the analogue of the Euler-Lagrange equation. Given $\mathrm{H}\in C^1(\mathbb{R}^{n imes n}_s)$, for the functional \[ \label{1} \mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O})\, =\, \big\| \mathrm{H}\big(\mathrm{D}^2 u\big) \big\|_{L^\infty(\mathcal{O})}, \ \ \ u\in W^{2,\infty}(Ω),\ \mathcal{O}\subseteq Ω, ag{1} \] the associated equation is the fully nonlinear 3rd order PDE \[ \label{2} \mathrm{A}^2_\infty u\, :=\,\big(\mathrm{H}_X\big(\mathrm{D}^2u\big)\big)^{\otimes 3}:\big(\mathrm{D}^3u\big)^{\otimes 2}\, =\,0. ag{2} \] Special cases arise when $\mathrm{H}$ is the Euclidean length of either the full hessian or of the Laplacian, leading to the $\infty$-Polylaplacian and the $\infty$-Bilaplacian respectively. We establish several results for \eqref{1} and \eqref{2}, including existence of minimisers, of absolute minimisers and of "critical point" generalised solutions, proving also variational characterisations and uniqueness. We also construct explicit generalised solutions and perform numerical experiments.

研究动机与目标

• 启动对 $L^\infty$ 中第二类变分问题的研究，最小化 Hessian 的函数的 $L^\infty$ 范数。
• 推导并分析完全非线性的三阶 PDE $\mathrm{A}^2_\infty u = 0$，作为 Euler-Lagrange 方程的 $L^\infty$ 类比。
• 为 $\mathrm{A}^2_\infty$ 方程建立极小化子、绝对极小化子及广义解（$\mathcal{D}$-解）的存在性与唯一性。
• 通过变分原理表征 $\mathrm{A}^2_\infty$ 方程，并在一维情形给出显式解。
• 通过 $p$-Biharmonic 正则化与有限元方法对理论结果进行数值验证。

提出的方法

• 将 $L^\infty$ PDE $\mathrm{A}^2_\infty u = (\mathrm{H}_X(\mathrm{D}^2u))^{\otimes 3} : (\mathrm{D}^3u)^{\otimes 2} = 0$ 作为 $p \to \infty$ 时 $L^p$ 问题的极限推导而出。
• 应用 Baire 族方法与取值于球面的 Young 测度，构造 Dirichlet 问题的广义解（$\mathcal{D}$-解）。
• 利用凸积分与流映射分析，通过常微分方程流刻画 $\mathrm{A}^2_\infty$ 算子。
• 通过绝对极小化子（$\mathrm{AM}^2$）的概念建立 $\mathrm{A}^2_\infty$ 的变分表征，并利用比较原理证明唯一性。
• 通过分段二次函数构造一维情形下 $\infty$-Bilaplacian 与 $\infty$-Polylaplacian 的显式解。
• 通过 $p$-Biharmonic 正则化进行数值逼近，采用混合有限元方法模拟 $p \to \infty$ 时向 $\infty$-Biharmonic 解的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 作为第二类变分问题的 $L^\infty$ 极限，正确的完全非线性三阶 PDE 是什么？
• RQ2 如何构造 $\mathrm{A}^2_\infty$ 方程的广义解（如 $\mathcal{D}$-解），其变分表征为何？
• RQ3 在何种条件下，$L^\infty$ 泛函 $\mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O}) = \|\mathrm{H}(\mathrm{D}^2u)\|_{L^\infty(\mathcal{O})}$ 存在绝对极小化子？
• RQ4 $\infty$-Polylaplacian 与 $\infty$-Bilaplacian 方程的结构特性为何？与它们的 $p$-Laplacian 对应形式有何不同？
• RQ5 如何通过 $p$-Biharmonic 问题的数值逼近实现向 $\infty$-Biharmonic 解的收敛？在高维情形中会呈现何种模式？

主要发现

• 第二类问题的 $L^\infty$ Euler-Lagrange 方程为完全非线性的三阶 PDE $\mathrm{A}^2_\infty u = (\mathrm{H}_X(\mathrm{D}^2u))^{\otimes 3} : (\mathrm{D}^3u)^{\otimes 2} = 0$，其为 $p \to \infty$ 时 $L^p$ 问题的极限。
• 在一维情形下，$\infty$-Bilaplacian 存在显式广义解，构造为满足弱意义下 PDE 的分段二次函数。
• $\mathrm{A}^2_\infty$ 方程在 $W^{2,\infty}(\Omega)$ 中存在唯一的绝对极小化子，其由 $\mathrm{AM}^2$ 条件通过比较原理刻画。
• 数值实验表明，当 $p \to \infty$ 时，$p$-Biharmonic 解收敛于 $\infty$-Biharmonic 解，且 $\Delta u^p$ 趋近于分段常数函数。
• 在二维情形下，$p$-Biharmonic 极限在 $\Delta u$ 中表现出复杂的界面图案，表明 $\infty$-Biharmonic 解可能为分段二次函数，且具有复杂的不连续集。
• $\infty$-Polylaplacian 与 $\infty$-Bilaplacian 方程在重新标度后，分别等价于 $\mathrm{D}^2u : \mathrm{D}(|\mathrm{D}^2u|^2) \otimes \mathrm{D}(|\mathrm{D}^2u|^2) = 0$ 与 $(\Delta u)^3 |\mathrm{D}(\Delta u)|^2 = 0$。