[论文解读] Absolutely Minimising Generalised Solutions to the Equations of Vectorial Calculus of Variations in $L^\infty$

Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Model Reduction and Neural Networks参考文献 30被引用 19

一句话总结

本文通过 $L^p$ 近似和一种新型的 $\mathcal{D}$-解概念，建立了 $L^\infty$ 中本质性泛函的向量值绝对极小化子的存在性。证明了此类极小化子是向量值 $\infty$-拉普拉斯系统的一般解，是 $L^p$ 极小化子在 $p\to\infty$ 时的极限，并在零测集外部分 $C^2$，从而填补了 $L^\infty$ 变分法中向量值情形的关键空白。研究动机源于气象学中的数据同化，将阿龙松森（Aronsson）的理论扩展至向量值情形，并实现了完整的解析表征。

ABSTRACT

Consider the supremal functional \[ ag{1} \label{1} E_\infty(u,A) \,:=\, \|L(\cdot,u,D u)\|_{L^\infty(A)},\quad A\subseteq Ω, \] applied to $W^{1,\infty}$ maps $u:Ω\subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^N$, $N\geq 1$. Under certain assumptions on $L$, we prove for any given boundary data the existence of a map which is: i) a vectorial Absolute Minimiser of \eqref{1} in the sense of Aronsson, ii) a generalised solution to the ODE system associated to \eqref{1} as the analogue of the Euler-Lagrange equations, iii) a limit of minimisers of the respective $L^p$ functionals as $p ightarrow\infty$ for any $q\geq 1$ in the strong $W^{1,q}$ topology \& iv) partially $C^2$ on $Ω$ off an exceptional compact nowhere dense set. oi {Our method is based on $L^p$ approximations and stable a priori partial regularity estimates. For item ii) we utilise the recently proposed by the author notion of $\mathcal{D}$-solutions in order to characterise the limit as a generalised solution. Our results are motivated from and apply to Data Assimilation in Meteorology.}

研究动机与目标

• 将阿龙松森（Aronsson）在 $L^\infty$ 变分法中关于绝对极小化子的标量理论推广至向量值情形。
• 通过新引入的 $\mathcal{D}$-解框架，建立向量值 $\infty$-拉普拉斯系统广义解的存在性。
• 在任意 $q \geq 1$ 的 $W^{1,q}$ 拓扑下，刻画 $L^p$ 极小化子在 $p \to \infty$ 时的极限，确保梯度的强收敛性。
• 证明极小化子在紧致、无处稠密的例外集外具有部分 $C^2$ 正则性。
• 为数据同化应用提供严格的分析基础，尤其在气象学中，向量值 $L^\infty$ 极小化自然出现。

提出的方法

• 利用泛函 $E_\infty(u,A) = \|\mathscr{L}(\cdot,u,Du)\|_{L^\infty(A)}$ 的 $L^p$ 近似，构造 $p \to \infty$ 时的极小化子序列。
• 应用稳定的先验部分正则性估计，控制 $L^p$ 极小化子的行为并确保收敛性质。
• 引入并应用 $\mathcal{D}$-解的概念，这是一种基于 Young 测度的广义解概念，用于刻画 $L^\infty$ 设置下 $L^p$ 极小化子序列的极限。
• 通过与二阶导数相关的 Young 测度的弱*收敛，将极限识别为在正则性集 $\Omega^\infty$ 上的 $\mathcal{D}$-解。
• 利用 Vitali 收敛定理，通过等度可积性和几乎处处点态收敛性，建立梯度 $Du^m \to Du^\infty$ 的强 $W^{1,q}$ 收敛性。
• 依赖于梯度的分解：$\mathscr{V}(\cdot,u)$ 与余项 $v^m$，并证明余项在 $m \to \infty$ 时于 $L^3$ 范数下趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般拉格朗日假设下，$L^\infty$ 中本质性泛函的向量值绝对极小化子是否存在，从而将阿龙松森的标量理论推广？
• RQ2 在缺乏经典 $C^2$ 解的情况下，如何定义并表征向量值 $\infty$-拉普拉斯系统的一般解？
• RQ3 在强 $W^{1,q}$ 拓扑下，$L^p$ 极小化子与其 $L^\infty$ 极限之间在 $p \to \infty$ 时的关系是什么？
• RQ4 极小化子的 $C^2$ 正则性在何种程度上成立，奇点出现在何处？
• RQ5 $\mathcal{D}$-解框架能否为向量值情形下 $L^\infty$ 欧拉-拉格朗日系统的解提供一致且稳定的表征？

主要发现

• 本文在拉格朗日函数 $\mathscr{L}$ 的标准 $C^2$ 假设下，证明了泛函 $E_\infty(u,A) = \|\mathscr{L}(\cdot,u,Du)\|_{L^\infty(A)}$ 存在向量值绝对极小化子。
• 极限映射 $u^\infty$ 被证明是 $L^\infty$ 中基本方程的 $\mathcal{D}$-解，满足新解概念下的广义欧拉-拉格朗日系统。
• $L^p$ 极小化子序列 $u^m$ 在 $p \to \infty$ 时，于任意 $q \geq 1$ 的 $W^{1,q}(\Omega,\mathbb{R}^N)$ 中强收敛于 $u^\infty$，且满足 $Du^m \to Du^\infty$ a.e. 与 $L^q$ 收敛。
• 极小化子 $u^\infty$ 在 $\Omega^\infty$ 上部分 $C^2$，其中 $\Omega^\infty$ 是 $\Omega$ 的全测度子集，而奇点位于紧致、无处稠密的例外集上，二阶导数可能奇异。
• 在正则性集 $\Omega^\infty$ 上，二阶导数 Young 测度 $\mathcal{D}^2u^\infty(x)$ 是位于 $\mathrm{D}^2u^\infty(x)$ 处的 Dirac 测度，确认了该区域内的强解行为。
• 极限映射 $u^\infty$ 以广义方式满足向量值 $\infty$-拉普拉斯系统，其方程右侧在 $\Omega^\infty$ 的补集上几乎处处为零，与 $\mathcal{D}$-解定义一致。