[论文解读] A New Characterisation of $\infty$-Harmonic and $p$-Harmonic Maps via Affine Variations in $L^\infty$

Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 14

一句话总结

本文通过在 $L^{\infty}$ 中使用仿射变分，建立了 ∞-调和与 p-调和映射的新变分表征，表明 ∞-拉普拉斯方程与 p-拉普拉斯方程的解正是那些在特定仿射扰动下使essential supremum 能量 $\| |Du|^2 \|_{L^\infty}$ 最小化的映射。结果通过 $N \geq 2$ 时的 $\mathcal{D}$-解与 $N=1$ 时的粘性解证明，将 $L^{\infty}$ 变分法理论扩展至向量值情形。

ABSTRACT

Let $u: Ω\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$ be a smooth map and $n,N \in \mathbb{N}$. The $\infty$-Laplacian is the PDE system \[ ag{1} \label{1} Δ_\infty u \, :=\, \Big(Du \otimes Du + |Du|^2[Du]^\bot\! \otimes I\Big) :D^2u\, =\, 0, \] where $[Du]^\bot := ext{Proj}_{R(Du)^\bot}$. \eqref{1} constitutes the fundamental equation of vectorial Calculus of Variations in $L^\infty$, associated to the model functional \[ ag{2} \label{2} E_\infty (u,Ω')\, =\, \big\| |Du|^2\big\|_{L^\infty(Ω')} ,\ \ \ Ω' \Subset Ω. \] We show that generalised solutions to \eqref{1} can be characterised in terms of \eqref{2} via a set of designated affine variations. For the scalar case $N=1$, we utilise the theory of viscosity solutions of Crandall-Ishii-Lions. For the vectorial case $N\geq 2$, we utilise the recently proposed by the author theory of $\mathcal{D}$-solutions. Moreover, we extend the result described above to the $p$-Laplacian, $1

研究动机与目标

• 通过在 $L^\infty$ 中使用仿射变分，为向量值情形（$N \geq 2$）的 ∞-调和与 p-调和映射提供新的变分表征。
• 解决在向量情形下，对非散度型、系数不连续的 ∞-拉普拉斯系统定义广义解的挑战。
• 统一 $L^\infty$ 变分法的变分结构与 $1 < p < \infty$ 时的 $p$-拉普拉斯框架。
• 通过 $\mathcal{D}$-解将 $L^\infty$ 中的绝对极小化子与拟凸性理论推广至一般向量值映射。

提出的方法

• 本文引入一类依赖于解 $u$ 与子区域 $\Omega' \Subset \Omega$ 的仿射变分类 $\mathcal{A}^p_{\Omega'}(u)$，专为 $L^\infty$ 泛函 $E_\infty(u,\Omega') = \||Du|^2\|_{L^\infty(\Omega')}$ 设计。
• 对于 $N=1$，应用 Crandall-Ishii-Lions 的粘性解理论，将 ∞-调和函数表征为在仿射变分下使 $E_\infty$ 最小化的解。
• 对于 $N \geq 2$，采用近期发展的 $\mathcal{D}$-解理论，处理由投影 $[Du]^\perp$ 引起的不连续系数。
• 关键技术工具是使用扩散 Hessian $\mathcal{D}^2u$ 及其约化支集 $\mathrm{supp}_*(\mathcal{D}^2u(x))$，从而实现对非光滑解的分析。
• 证明依赖于沿仿射扰动分析能量泛函的下 Dini 导数 $\underline{D}h(0^+)$，以推导最小化的必要与充分条件。
• 建立了一个关键恒等式：$\underline{D}h(0^+) \geq 0$ 当且仅当 $\Delta_\infty u = 0$ 在 $\mathcal{D}$-意义下成立，将变分稳定性与 PDE 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在向量情形（$N \geq 2$）下，∞-调和映射能否被表征为在特定仿射变分类下使本质上确界能量 $\| |Du|^2 \|_{L^\infty}$ 最小化的映射？
• RQ2 当经典解可能不存在时，$\mathcal{D}$-解框架如何实现对 ∞-拉普拉斯方程广义解的表征？
• RQ3 是否存在一个统一的变分原理，通过相同的 $L^\infty$-型泛函将 $p$-拉普拉斯方程（$1 < p < \infty$）与 ∞-拉普拉斯方程联系起来？
• RQ4 哪些仿射变分类 $\mathcal{A}^p_{\Omega'}(u)$ 能够产生 ∞-调和映射的最小化条件？
• RQ5 梯度值域 $R(Du)$ 与投影 $[Du]^\perp$ 的几何性质如何影响解在仿射扰动下的稳定性？

主要发现

• $\infty$-调和系统 $\Delta_\infty u = 0$ 在 $\Omega$ 上以 $\mathcal{D}$-意义成立，当且仅当对所有 $\Omega' \Subset \Omega$ 与所有 $A \in \mathcal{A}^{\top,\infty}_{\Omega'}(u) \cup \mathcal{A}^{\bot,\infty}_{\Omega'}(u)$，有 $\|Du\|_{L^\infty(\Omega')} \leq \|Du + DA\|_{L^\infty(\Omega')}$。
• 对于 $1 < p < \infty$，$p$-拉普拉斯方程 $\Delta_p u = 0$ 通过与 $p$ 相关的变分类 $\mathcal{A}^p_{\Omega'}(u)$ 表征，结果被推广至 $p$-拉普拉斯框架。
• 在标量情形（$N=1$）下，结果通过粘性解成立，证实 ∞-调和函数正是那些在仿射变分下使 $\| |Du|^2 \|_{L^\infty}$ 最小化的函数。
• 对于 $C^2$ 映射，$\mathcal{D}$-解退化为经典 Hessian，且变分类 $\mathcal{A}^{\top,\infty}_{\Omega'}(u)$ 与 $\mathcal{A}^{\bot,\infty}_{\Omega'}(u)$ 在 $Du \neq 0$ 的点处给出经典恒等式 $\mathrm{div}(A^\top Du) = 0$。
• 证明表明，对所有此类仿射变分均有 $\underline{D}h(0^+) \geq 0$ 当且仅当 $\infty$-拉普拉斯方程在 $\mathcal{D}$-意义下为零，建立了精确的必要与充分条件。
• 该表征具有鲁棒性：即使由于投影 $[Du]^\perp$ 导致 ∞-拉普拉斯方程的系数不连续，最小化条件依然有效，并能完全表征解。