[论文解读] Sections of the Hodge bundle over Ekedahl-Oort strata of Shimura varieties of Hodge type

Jean-Stefan Koskivirta|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文在霍奇型希米勒簇的埃凯达尔-奥特子簇上构造了霍奇丛幂的典范非零全局截面，证明了每个子簇上霍奇丛是挠的。这表明埃凯达尔-奥特子簇是拟仿射的，并为射影情形下其非空性提供了简短证明，恢复了已知结果并将其推广至一般霍奇型希米勒簇。

ABSTRACT

We construct canonical non-vanishing global sections of powers of the Hodge bundle on each Ekedahl-Oort stratum of a Hodge type Shimura variety. In particular we recover the quasi-affineness of the Ekedahl-Oort strata. In the projective case, this gives a very short proof of non-emptiness of Ekedahl-Oort strata. It follows that the Newton strata are also nonempty, by a result of S.Nie. We also deduce the fact that the $μ$-ordinary locus is determined by the Ekedahl-Oort strata of its image by any embedding.

研究动机与目标

• 在霍奇型希米勒簇的每个埃凯达尔-奥特子簇上建立霍奇丛幂的典范非零全局截面的存在性。
• 通过证明每个子簇上霍奇丛是挠的，证明埃凯达尔-奥特子簇是拟仿射的。
• 通过霍奇丛的充分性与归纳论证，为射影情形下埃凯达尔-奥特子簇的非空性提供简短证明。
• 表明μ-平凡子簇由p-挠群概形结构决定，与其它数据无关。
• 通过埃凯达尔-奥特子簇分解，将关于牛顿子簇非空性的结果推广至一般霍奇型希米勒簇。

提出的方法

• 利用G-拉链的堆栈与zip映射ζ: S_K → G-Zip^μ，将埃凯达尔-奥特子簇参数化为纤维。
• 应用关于G-拉链商堆栈上Picard群与线丛全局截面的一般结果。
• 通过嵌入到Siegel模簇并取拉回，构造广义哈塞不变量作为每个子簇上的典范全局截面。
• 通过证明ω_S^⊗N_wd中存在非零截面，建立每个子簇S^w上霍奇丛ω_S是挠的。
• 利用同构O_{S^w} ≅ ω_S^⊗N_wd，推导出每个子簇的拟仿射性。
• 应用zip映射ζ的平坦性与开性，结合归纳维数约化，证明射影情形下子簇的非空性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在霍奇型希米勒簇的每个埃凯达尔-奥特子簇上构造霍奇丛幂的典范非零全局截面？
• RQ2 此类截面的存在是否意味着每个埃凯达尔-奥特子簇是拟仿射的？
• RQ3 能否通过此构造证明射影霍奇型希米勒簇中埃凯达尔-奥特子簇的非空性？
• RQ4 霍奇型希米勒簇的μ-平凡埃凯达尔-奥特子簇是否完全由p-挠群概形A[p]决定？
• RQ5 埃凯达尔-奥特子簇的拟仿射性是否蕴含射影霍奇型希米勒簇中牛顿子簇的非空性？

主要发现

• 对每个非空的埃凯达尔-奥特子簇S^w，存在N_w ≥ 1，使得对所有d ≥ 1，ω_S^⊗N_wd都存在典范非零全局截面。
• 此类截面的存在意味着每个子簇上霍奇丛是挠的，从而诱导同构O_{S^w} ≅ ω_S^⊗N_wd。
• 这表明每个埃凯达尔-奥特子簇是拟仿射的，恢复了此前通过其他方法已知的结果。
• 在射影情形下，拟仿射性与归纳维数论证表明，超特殊（维数为零）的埃凯达尔-奥特子簇非空，因此所有子簇均非空。
• μ-平凡子簇S^μ满足S^μ = ι⁻¹(S₀^μ)，即其由A[p]的同构类唯一决定，与极化或水平结构无关。
• 根据S. Nie的一个结果，埃凯达尔-奥特子簇的非空性蕴含射影霍奇型希米勒簇中牛顿子簇的非空性。