[论文解读] Semi-analytical mass matrix for 8-node brick element

Eli Hanukah|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Composite Structure Analysis and Optimization参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出一种半解析方法，通过在关键点处对雅可比行列式进行近似，计算8节点砖形单元的质鼍矩阵，实现精确的解析积分。该方法在计算成本更低的情况下，相比标准数值方案具有更高的精度，尤其在矩形和非矩形六面体网格上表现优异。

ABSTRACT

Nowadays integration of mass matrix components in the element domain is performed using various numerical integration schemes, each one possess different level of accuracy, alters in number of integration (Gauss) points and requires different amount of computations. Herein semi-analytical approach is suggested. Metric (Jacobian determinant) is approximately modeled using its evaluations in certain points. Analytical integration is performed to derive simple explicit closed-form expressions for each term of the mass matrix. Two schemes are discussed: the first assumes constant metric (CM) in the initial domain, using evaluation at the centroid. The second allows for linear variation of the metric (LM linear metric) in the domain using 3 additional evaluation points. Both schemes are exact for rectangular and non-rectangular parallelepiped mesh. Careful symbolic manipulations and convenient choice of evaluation points allow us to avoid unnecessary operations. The accuracy of both schemes is studied numerically using randomly generated coarse mesh. Significant superiority in accuracy over equivalent schemes is reported. An important implication of this study is that it can replace currently used schemes.

研究动机与目标

• 开发一种比传统数值积分更精确、更高效的8节点砖形单元质鼍矩阵计算方法。
• 在保持或提升积分精度的同时，降低有限元公式中的计算成本。
• 通过在离散点处对雅可比行列式进行近似，实现质鼍矩阵分量的精确解析积分。
• 评估两种方案的性能：恒定度量（CM）和线性变化度量（LM）近似。
• 在扭曲网格上证明该方法在精度上优于标准高斯积分方案。

提出的方法

• 在关键点处对雅可比行列式进行近似：在常量度量（CM）方案中，仅在形心处取值。
• 使用三个附加点以在线性度量（LM）方案中模拟雅可比行列式的线性变化。
• 利用近似后的雅可比行列式对质鼍矩阵项进行解析积分，得到闭式表达式。
• 通过符号运算和关键点的合理选择，最小化计算开销。
• 通过设计确保对矩形和非矩形平行六面体单元均实现精确积分。
• 通过在随机生成的粗网格上进行数值实验验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 半解析方法是否能在8节点砖形单元质鼍矩阵的计算中，实现比标准数值积分更高的精度？
• RQ2 常量度量（CM）和线性度量（LM）方案的精度与等效的高斯积分方案相比如何？
• RQ3 通过合理选择雅可比行列式近似，能否在不产生过高计算成本的前提下实现解析积分？
• RQ4 所提出的方法在扭曲的、非矩形的六面体单元上是否仍能保持高精度？
• RQ5 与传统积分方法相比，该半解析方法在计算效率上有多大的提升？

主要发现

• 所提出的半解析方法在随机生成的粗网格上，相比等效的数值积分方案，显著提升了精度。
• CM与LM方案对矩形和非矩形平行六面体单元均能给出精确结果。
• LM方案通过模拟雅可比行列式的线性变化，相比CM方案提供了更优的精度。
• 通过精心的符号运算和最优点选择，避免了不必要的计算操作。
• 研究表明，该半解析方法可有效替代当前有限元分析中的数值积分实践。