[论文解读] Semi-infinite cohomology and Kazhdan-Lusztig equivalence at positive level

Chia-Cheng Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过新定义的正级别 Kazhdan-Lusztig函子，利用 Arkhipov-Gaitsgory 对偶性，建立了正级别仿射李代数模的半无限上同调与量子群上同调之间的桥梁。关键结果表明，半无限上同调通过该函子与量子群上同调实现分解，为将 Kazhdan-Lusztig 等价性推广至非负级别提供了新路径，并支持了量子局部几何 Langlands 对应。

ABSTRACT

A positive level Kazhdan-Lusztig functor is defined using Arkhipov-Gaitsgory duality for affine Lie algebras. The functor sends objects in the DG category of G(O)-equivariant positive level affine Lie algebra modules to objects in the DG category of modules over Lusztig's quantum group at a root of unity. We prove that the semi-infinite cohomology functor for positive level modules factors through the Kazhdan-Lusztig functor at positive level and the quantum group cohomology functor with respect to the positive part of Lusztig's quantum group.

研究动机与目标

• 通过仿射李代数的 Arkhipov-Gaitsgory 对偶性，定义正级别 Kazhdan-Lusztig 函子。
• 建立半无限上同调通过该函子与量子群上同调的分解结构。
• 为任意非临界级别提供一种新的 Kazhdan-Lusztig 张量等价性方法。
• 通过连接正级别下 Kac-Moody 与量子群范畴，支持量子局部几何 Langlands 对应。
• 将 Kazhdan-Lusztig 等价性的适用范围从负级别扩展至所有非临界级别（猜想）

提出的方法

• 本文从 $G(\mathcal{O})$-等变模 $\hat{\mathfrak{g}}_{\kappa}\textup{-mod}^{G(\mathcal{O})}$ 构造一个正级别 Kazhdan-Lusztig 函子，映射至 Lusztig 的量子群 $U_q(\mathfrak{g})$ 在单位根处的模 $U_q(\mathfrak{g})\textup{-mod}$。
• 利用 Arkhipov-Gaitsgory 对偶性定义该函子，借助 Whittaker 与 Kac-Moody 范畴之间的对偶关系。
• 证明半无限上同调函子 $\mathfrak{C}^{\frac{\infty}{2}}(\mathfrak{n}(\mathcal{K}), -)$ 可通过 Kazhdan-Lusztig 函子与量子群上同调函子 $\textup{C}^{\bullet}(U_q(\mathfrak{n}), -)$ 分解。
• 通过包含 $\hat{\mathfrak{g}}_{\kappa}\textup{-mod}^{G(\mathcal{O})}$、$\hat{\mathfrak{t}}_{\kappa+\textup{shift}}\textup{-mod}^{T(\mathcal{O})}$、$U_q(\mathfrak{g})\textup{-mod}$ 与 $\textup{Rep}_q(T)$ 的交换图证明该分解。
• 证明依赖于紧生成范畴与 Weyl 模 $\mathbb{V}^{\kappa}_{\lambda}$（对应于极大权 $\lambda$）全子范畴的 ind-完备化，使用 Lurie 的 ind-范畴理论。
• 通过验证两个复合函子在紧生成元上的相等性（特别是当 $\kappa$ 为无理数时 Weyl 模的不可约性）来确认交换图的交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kazhdan-Lusztig 等价性如何被推广至非负级别，以覆盖所有非临界级别？
• RQ2 正级别仿射李代数模的半无限上同调能否通过函子构造与量子群上同调相关联？
• RQ3 正级别下的 Arkhipov-Gaitsgory 对偶性是否能产生一个良定义的 Kazhdan-Lusztig 函子，将 $G(\mathcal{O})$-等变模映射至量子群模？
• RQ4 半无限上同调通过 Kazhdan-Lusztig 函子与量子群上同调的分解如何支持量子局部几何 Langlands 对应？
• RQ5 在正级别模的半无限上同调中，Tate 位移的作用是什么？它如何影响量子群侧的级别位移？

主要发现

• 对于 $G(\mathcal{O})$-等变正级别模 $M$，其半无限上同调 $\mathfrak{C}^{\frac{\infty}{2}}(\mathfrak{n}(\mathcal{K}), M)^{\mu}$ 关于任意权 $\mu$，与量子群上同调 $\textup{C}^{\bullet}(U_q(\mathfrak{n}), \textup{KL}_G(M))^{\mu}$ 同构。
• 通过 Arkhipov-Gaitsgory 对偶性构造了正级别下的 Kazhdan-Lusztig 函子 $\textup{KL}_G$，其映射为 $\hat{\mathfrak{g}}_{\kappa}\textup{-mod}^{G(\mathcal{O})} \to U_q(\mathfrak{g})\textup{-mod}$，且满足 $\textup{KL}_G(\mathbb{V}^{\kappa}_{\lambda}) = \mathcal{V}_{\lambda}$。
• 通过验证两个复合函子在紧生成元全子范畴（即 Weyl 模 $\mathbb{V}^{\kappa}_{\lambda}$）上的相等性，确立了图 (32) 的交换性，利用了当 $\kappa$ 为无理数时这些模的不可约性。
• 通过证明两个函子均将 $\mathbb{V}^{\kappa}_{\lambda}$ 上的恒等态射映射为 $\textup{Rep}_q(T)$ 中相应上链复的恒等态射，验证了其在态射上的同构性。
• 半无限上同调通过 Kazhdan-Lusztig 函子与量子群上同调的分解，为 Kazhdan-Lusztig 等价性提供了一条新且可能更简单的途径，适用于所有非临界级别。
• 该结果通过在正级别下建立 Kac-Moody 范畴与量子群范畴之间的桥梁，支持了量子局部几何 Langlands 对应，其中临界级别为退化情形。