[论文解读] Semi-infinite cohomology and the linkage principle for $W$-algebras

Gurbir Dhillon|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 51被引用 4

一句话总结

本文为与单李代数及主幂零元相关的 $χ$-代数建立了半无限上同调理论，证明了在水平数 $\kappa + \kappa_c$ 与 $-\kappa + \kappa_c$ 下 $χ$-模类之间的对偶性，验证了 $χ$-代数的 Feigin–Fuchs 对偶性猜想，并通过关联性原理确定了所有 Verma 模之间的同态映射。

ABSTRACT

Let $\mathfrak{g}$ be a simple Lie algebra, and let $W_κ$ be the affine ${W}$-algebra associated to a principal nilpotent element of $\mathfrak{g}$ and level $κ$. We explain a duality between the categories of smooth ${W}$ modules at levels $κ+ κ_c$ and $-κ+ κ_c$, where $κ_c$ is the critical level. Their pairing amounts to a construction of semi-infinite cohomology for the ${W}$-algebra. As an application, we determine all homomorphisms between the Verma modules for ${W}$, verifying a conjecture from the conformal field theory literature of de Vos--van Driel. Along the way, we determine the linkage principle for Category $\mathscr{O}$ of the ${W}$-algebra.

研究动机与目标

• 为 $\mathscr{W}$-代数构建半无限上同调的一般理论，尽管其在共形场论与 $\mathscr{W}$-重力中的重要性已广为人知，但该理论此前仍难以建立。
• 验证 $\mathscr{W}$-代数的 Feigin–Fuchs 对偶性猜想，将已知的 Virasoro 代数对偶性推广至高秩李代数。
• 完全确定 $\mathscr{W}$-代数中 Verma 模之间同态映射的结构，解决表示理论中长期悬而未决的开放问题。
• 为 $\mathscr{W}$-代数的 Category $\mathscr{O}$ 建立关联性原理，实现对块与最高权模的分类。

提出的方法

• 利用局部量子几何 Langlands 程序的最新进展，为 $\mathscr{W}$-代数定义半无限上同调。
• 通过上同调函子诱导，建立在水平数 $\kappa + \kappa_c$ 与 $-\kappa + \kappa_c$ 下光滑 $\mathscr{W}$-模类之间的对偶配对。
• 应用导出范畴框架，通过标准的 dg-等价性，将 $\operatorname{Verma}_{\kappa}^{op}$ 与 $\operatorname{Verma}_{-\kappa + 2\kappa_c}$ 关联起来。
• 引入重整化的导出范畴 $\mathscr{W}_{\kappa}\text{-mod}$，使得 Verma 模成为紧致对象，从而支持同调计算。
• 利用有限 Weyl 群 $W_{\operatorname{f}}$ 及其抛物子群，通过双重陪集参数化块，并对 Verma 模进行分类。
• 利用双重陪集 $W_{\operatorname{f},\lambda} \backslash W_{\lambda} / W^{\circ}_{\lambda}$ 上的 Bruhat 序，刻画 Verma 模之间非平凡同态映射的特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在超越 Virasoro 情形的 $\mathscr{W}$-代数的半无限上同调理论？
• RQ2 Verma 模在互补中心荷下的 Feigin–Fuchs 对偶性是否可推广至 $\mathscr{W}$-代数？
• RQ3 $\mathscr{W}$-代数中 Verma 模之间同态映射的完整结构是什么？
• RQ4 $\mathscr{W}$-代数的 Category $\mathscr{O}$ 的关联性原理是什么？

主要发现

• 通过 dg-范畴的典范等价性 $\operatorname{Verma}_{\kappa}^{op} \simeq \operatorname{Verma}_{-\kappa + 2\kappa_c}$，建立了 $\mathscr{W}$-代数的广义 Feigin–Fuchs 对偶性。
• Verma 模之间的同态空间 $\operatorname{Hom}(M_v, M_w)$ 至多一维，且非零当且仅当在 Bruhat 序中 $v \geqslant w$。
• $\mathscr{W}_{\kappa}$-代数的关联性原理已确立，块由双重陪集 $W_{\operatorname{f},\lambda} \backslash W_{\lambda} / W^{\circ}_{\lambda}$ 参数化。
• 对于 co-Verma 模 $A_v$，$\operatorname{Hom}(A_v, A_w)$ 非零当且仅当在正水平数下 $v \leqslant w$，在负水平数下 $v \geqslant w$。
• Category $\mathscr{O}$ 上的对偶 $\mathbf{D}$ 在 Verma 模与 co-Verma 模之间建立了对偶，确认了 co-Verma 模同态映射的结构。
• 该构造证实了 $\mathscr{W}$-代数半无限上同调理论的存在性，解决了共形场论中长期存在的一个猜想。