[论文解读] W-algebras and Whittaker categories

Sam Raskin|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文通过引入基于循环群和仿射格拉斯曼流形上的D-模的导出几何框架，建立了W代数的仿射版本的Skryabin定理。它利用“青春期Whittaker”方法构建了Whittaker模型的紧逼近，推广了Rodier的逼近方法，并将Beraldo关于Whittaker不变量与余不变量的定理推广至任意半单群，其应用涵盖积分层次的局部几何朗兰兹程序。

ABSTRACT

Affine W-algebras are a somewhat complicated family of (topological) associative algebras associated with a semisimple Lie algebra, quantizing functions on the algebraic loop space of Kostant's slice. They have attracted a great deal of attention in geometric representation theory because of Feigin-Frenkel's duality theorem for them, which identifies W-algebras for a Lie algebra and its Langlands dual through a subtle construction. The main result of this paper is an affine version of Skryabin's theorem, describing the category of modules over the W-algebra in simpler categorical terms. But unlike the classical story, it is essential to work with derived categories in the affine setting. One novel feature is the use of geometric techniques to study W-algebras: the theory of D-modules on the loop group and the geometry of the affine Grassmannian are indispensable tools. These are used to give an infinite family of affine analogues of the Bezrukavnikov-Braverman-Mirkovic theorem, providing a geometric version of Rodier's compact approximation to the Whittaker model from the arithmetic setting. We also use these methods to generalize Beraldo's theorem identifying Whittaker invariants and Whittaker coinvariants, extending his result from GL_n to a general reductive group. At integral level, these methods seem to have deep intrinsic meaning in the local geometric Langlands program. The theory developed here provides systematic proofs of many classical results in the subject. In particular, we clarify the exactness properties of the quantum Drinfeld-Sokolov functor.

研究动机与目标

• 通过导出范畴与几何方法，将Skryabin定理从有限情形推广至仿射W代数。
• 在仿射Kac-Moody代数的背景下，发展Whittaker模型的几何紧逼近，类比于Rodier的算术构造。
• 将Beraldo定理（即Whittaker不变量与余不变量的同构性）推广至任意半单群。
• 阐明仿射情形下量子Drinfeld-Sokolov函子的正合性性质。
• 为局部几何朗兰兹程序在积分层次的结果提供系统化的几何基础。

提出的方法

• 以循环群和仿射格拉斯曼流形上的D-模的导出范畴为核心工具。
• 应用在$N(K)$与$\widehat{G}(K)$作用下的$D$-模的扭等变理论，构造Whittaker范畴。
• 引入“青春期Whittaker”构造作为新方法，实现Whittaker模型的紧逼近。
• 在$D_{\kappa}(G(K))$-模中使用卷积与核函子，将Whittaker函子实现为与$D_{\kappa}(G(K))^{(N(K),\psi), (\accentset{\circ}{I}_n, -\psi)}$中核的卷积。
• 利用清晰延拓性质与$G(O)^n$-等变性，验证包含函子$\iota_{n,!}$的全忠实性。
• 应用Kac-Moody上闭链与$\operatorname{Gr}_N \subseteq \operatorname{Gr}_G$上的主齐性空间平凡性，确保几何构造的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在导出几何设定下，如何将Skryabin定理由有限情形推广至仿射W代数？
• RQ2 在仿射Kac-Moody设定下，Rodier对Whittaker模型的紧逼近的几何对应物是什么？
• RQ3 在任意半单群的背景下，Whittaker不变量与余不变量之间有何关系，从而推广Beraldo的结果？
• RQ4 导出范畴与$D$-模在仿射W代数及其模范畴结构中扮演何种角色？
• RQ5 这些构造如何促进积分层次的局部几何朗兰兹程序？

主要发现

• 本文构建了Skryabin定理的仿射版本，将仿射W代数上的模范畴实现为循环群上D-模的导出范畴的全子范畴。
• “青春期Whittaker”构造提供了一种新的几何方法，用于Whittaker模型的紧逼近，将Rodier的算术结果推广至几何设定。
• Whittaker函子是全忠实的，并可通过$D_{\kappa}(G(K))^{(N(K),\psi), (\accentset{\circ}{I}_n, -\psi)}$中的核实现为卷积，从而建立了Whittaker范畴的几何实现。
• 该理论推广了Beraldo定理，表明对于任意半单群，Whittaker不变量与余不变量同构，而不仅限于$GL_n$。
• 通过导出框架，澄清了量子Drinfeld-Sokolov函子的正合性性质，解决了W代数表示论中长期存在的问题。
• 这些构造在局部几何朗兰兹程序中具有深刻的内在意义，尤其在积分层次，为经典结果提供了系统化的证明。