[论文解读] Semistable Higgs bundles, periodic Higgs bundles and representations of algebraic fundamental groups

Guitang Lan, Mao Sheng+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 8

一句话总结

该论文在光滑射影概型 $X$ 的 Witt 环 $W(k)$ 上建立了周期性 Higgs-de Rham 流与 Fontaine 模之间的等价关系，从而将特殊纤维上秩 $\leq p$ 的半稳定 Higgs 纤维丛与 $\pi_1(X_K)$ 的晶体表示联系起来。该研究在截断的 Witt 环上构造了逆 Cartier 变换，证明了此类 Higgs 纤维丛可引发半稳定的 Higgs-de Rham 流，并在陈类为零时产生 $k$-表示。

ABSTRACT

Let $k $ be the algebraic closure of a finite field of odd characteristic $p$ and $X$ a smooth projective scheme over the Witt ring $W(k)$ which is geometrically connected in characteristic zero. We introduce the notion of Higgs-de Rham flow and prove that the category of periodic Higgs-de Rham flows over $X/W(k)$ is equivalent to the category of Fontaine modules, hence further equivalent to the category of crystalline representations of the étale fundamental group $π_1(X_K)$ of the generic fiber of $X$, after Fontaine-Laffaille and Faltings. Moreover, we prove that every semistable Higgs bundle over the special fiber $X_k$ of $X$ of rank $\leq p$ initiates a semistable Higgs-de Rham flow and thus those of rank $\leq p-1$ with trivial Chern classes induce $k$-representations of $π_1(X_K)$. A fundamental construction in this paper is the inverse Cartier transform over a truncated Witt ring. In characteristic $p$, it was constructed by Ogus-Vologodsky in the nonabelian Hodge theory in positive characteristic; in the affine local case, our construction is related to the local Ogus-Vologodsky correspondence of Shiho.

研究动机与目标

• 在光滑射影概型 $X$ 的特殊纤维上，建立秩 $\leq p$ 的半稳定 Higgs 纤维丛与 $\pi_1(X_K)$ 的晶体表示之间的对应关系。
• 解决关于零度半稳定 Higgs 纤维丛是否在 $p$-进情形下源自真实表示的开放问题。
• 在截断的 Witt 环上构造逆 Cartier 变换，作为将正特征的 Higgs 模提升至混合特征的关键技术工具。
• 证明秩 $\leq p$ 且陈类平凡的半稳定 Higgs 纤维丛可通过 Higgs-de Rham 流诱导出 $\pi_1(X_K)$ 的 $k$-表示。
• 通过 Higgs-de Rham 流形式化，将正特征下的 Ogus-Vologodsky 非交换 Hodge 对应关系推广至混合特征。

提出的方法

• 引入 Higgs-de Rham 流的概念，作为一种动力系统，通过反复应用逆 Cartier 变换将 Higgs 纤维丛与平坦联络联系起来。
• 在截断的 Witt 环 $W_n(k)$ 上构造逆 Cartier 变换，将 Ogus-Vologodsky 对应关系推广至混合特征。
• 利用逆 Cartier 变换将正特征下的幂零 Higgs 模提升为混合特征下的平坦模，同时保持半稳定性。
• 结合 Fontaine 模理论与 Griffiths 横截滤子，构造平坦模上的滤子，使其相应的分次模为幂零且半稳定的 Higgs 模。
• 证明在反复应用 $ξ$-算子下，滤子序列收敛至一个 gr-半稳定的滤子，从而确保 Higgs-de Rham 流的存在性。
• 利用 Fontaine 模与晶体表示之间的等价关系（通过 Fontaine-Laffaille 和 Faltings），将 Higgs-de Rham 流与 $\pi_1(X_K)$ 的表示联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个秩 $\leq p$ 的半稳定 Higgs 纤维丛在光滑射影概型 $X$ 的特殊纤维 $X_k$ 上是否都能引发 Higgs-de Rham 流？
• RQ2 在 $X_k$ 上陈类平凡的半稳定 Higgs 纤维丛是否能通过其关联的 Higgs-de Rham 流产生 $\pi_1(X_K)$ 的 $k$-表示？
• RQ3 是否存在一个 $p$-进情形下的 Hitchin-Simpson 对应的类比，使得半稳定 Higgs 纤维丛可被实现实为源自真实表示？
• RQ4 如何将逆 Cartier 变换从完美域情形推广至截断的 Witt 环 $W_n(k)$，以实现混合特征的构造？
• RQ5 在滤子上，$ξ$-算子在从半稳定 Higgs 纤维丛构造稳定 Higgs-de Rham 流的过程中起什么作用？

主要发现

• 在 $X/W(k)$ 上，周期性 Higgs-de Rham 流的范畴与 Fontaine 模的范畴等价，因此也与 $\pi_1(X_K)$ 的晶体表示的范畴等价。
• 每个在 $X_k$ 上秩 $\leq p$ 的半稳定 Higgs 纤维丛均可引发 Higgs-de Rham 流，从而证明了此类流的存在性。
• 在 $X_k$ 上秩 $\leq p-1$ 且陈类平凡的半稳定 Higgs 纤维丛，可通过其关联的 Higgs-de Rham 流诱导出 $\pi_1(X_K)$ 的 $k$-表示。
• 在 $W_n(k)$ 上构造的逆 Cartier 变换作为关键技术工具，将 Ogus-Vologodsky 对应关系推广至混合特征。
• $ξ$-算子在滤子上的作用在有限步后收敛至一个 gr-半稳定的滤子，从而确保 Higgs-de Rham 流的收敛性。
• 在仿射情形下，$W_n(k)$ 上的逆 Cartier 变换构造与 Shiho 所建立的局部 Ogus-Vologodsky 对应关系相容。