[论文解读] Separating Path and Identity Types in Presheaf Models of Univalent Type Theory

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文证明，在具有命题截断的预层模型中——特别是关于第一和第二克萊尼代數的模型——路径类型无法作为同伦类型，当存在命题截断时。通过布罗威尔反例和可实现性论证，证明了反射映射无法在构造上被证明为平凡纤维化，从而排除了在这些模型中直接将路径类型与同伦类型等同的可能性。

ABSTRACT

We give a collection of results regarding path types, identity types and univalent universes in certain models of type theory based on presheaves. The main result is that path types cannot be used directly as identity types in any Orton-Pitts style model of univalent type theory with propositional truncation in presheaf assemblies over the first and second Kleene algebras. We also give a Brouwerian counterexample showing that there is no constructive proof that there is an Orton-Pitts model of type theory in presheaves when the universe is based on a standard construction due to Hofmann and Streicher, and path types are identity types. A similar proof shows that path types are not identity types in internal presheaves in realizability toposes as long as a certain universe can be extended to a univalent one. We show that one of our key lemmas has a purely syntactic variant in intensional type theory and use it to make some minor but curious observations on the behaviour of cofibrations in syntactic categories.

研究动机与目标

• 研究在基于预层的奥尔顿-皮茨风格同伦类型理论模型中，路径类型是否可被用作同伦类型。
• 识别在何种条件下，反射映射 $ r^X: X \to X^\mathbb{I} $ 在构造上无法成为平凡纤维化。
• 证明在可实现性拓扑斯和预层叠中，当存在同伦 universes 时，路径类型无法作为同伦类型。
• 探讨在具有同伦性和命题截断的构造性类型理论中，使用路径类型作为同伦类型的局限性。
• 澄清同伦性、正规性（canonicity）以及路径类型与同伦类型在类型理论模型中定义等同之间的张力。

提出的方法

• 构造一个布罗威尔反例，以证明在某些可实现性模型中，将常值路径包含于所有路径中的包含映射在逐点上并非可判定的。
• 假设路径类型即为同伦类型，推导出某些映射必须是纤维化，利用纤维化的结构和提升性质。
• 应用同伦 universes，证明纤维化在双重否定下是逐点稳定的，从而导致非构造性后果。
• 结合这些技术，推导出在可实现性模型中构造上无效的结果，例如平凡纤维化的像不可判定。
• 在内涵类型理论中使用关键引理的语法变体，以分析语法范畴中的纤维化行为。
• 分析基于第一和第二克萊尼代數上的预层模型，重点研究立方叠和可实现性拓扑斯。

实验结果

研究问题

• RQ1 在第一和第二克萊尼代數上的预层叠中，若存在命题截断，是否可在奥尔顿-皮茨风格的同伦类型理论模型中将路径类型与同伦类型等同？
• RQ2 是否存在一个构造性证明，表明当路径类型被用作同伦类型时，反射映射 $ r^X: X \to X^\mathbb{I} $ 是一个平凡纤维化？
• RQ3 当存在一个同伦 universes 时，在可实现性拓扑斯中，使用路径类型作为同伦类型的局限性是什么？
• RQ4 在保持同伦性的同时，正则性条件（如 $ \sigma $-规则）在在多大程度上可用于调和路径类型与同伦类型？
• RQ5 是否存在一种类型理论，能够同时满足同伦性、良好的计算性质（如正规性与可判定类型检查），以及路径类型与同伦类型的定义等同？

主要发现

• 在第一和第二克萊尼代數上的预层叠中，当存在命题截断时，路径类型无法被用作同伦类型。
• 一个布罗威尔反例表明，在此类模型中，不存在构造性证明可证明反射映射 $ r^X $ 是平凡纤维化。
• 假设路径类型即为同伦类型，会迫使某些映射成为纤维化，从而在可实现性模型中导致非构造性后果。
• 在可实现性拓扑斯中的内部预层中，若同伦 universes 可被扩展为同伦 universes，则路径类型不是同伦类型。
• 本文的关键引理在内涵类型理论中存在一个纯语法变体，揭示了语法范畴中纤维化的微妙行为。
• 结果表明，在单一类型理论中，不可能同时满足同伦性、良好的计算性质（如正规性与可判定类型检查），以及路径类型与同伦类型的定义等同。