[论文解读] Separation of finite and infinite-dimensional quantum correlations, with infinite question or answer sets

Andrea Coladangelo, Jalex Stark|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文展示了在具有无限问题集或答案集的非局部游戏中，有限维与无限维量子关联之间存在分离。通过构造一个使用无限维系统进行量子策略的游戏，其表现优于所有有限维策略，作者证明了在这些设定中，无限维纠缠所提供的非局部关联严格强于有限维纠缠。

ABSTRACT

Completely determining the relationship between quantum correlation sets is a long-standing open problem, known as Tsirelson's problem. Following recent progress by Slofstra [arXiv:1606.03140 (2016), arXiv:1703.08618 (2017)] only two instances of the problem remain open. One of them is the question of whether the set of finite-dimensional quantum correlations is strictly contained in the set of infinite-dimensional ones (i.e. whether $\mathcal C_{q} eq \mathcal C_{qs}$). The usual formulation of the question assumes finite question and answer sets. In this work, we show that, when one allows for either infinite answer sets (and finite question sets) or infinite question sets (and finite answer sets), there exist correlations that are achievable using an infinite-dimensional quantum strategy, but not a finite-dimensional one. For the former case, our proof exploits a recent result [Nat. Comm. 8, 15485 (2017)], which shows self-testing of any pure bipartite entangled state of arbitrary local dimension $d$, using question sets of size 3 and 4 and answer sets of size $d$. For the latter case, a key step in our proof is to show a novel self-test, inspired by [Nat. Comm. 8, 15485 (2017)], of all bipartite entangled states of any local dimension d, using question sets of size $O(d)$, and answer sets of size 4 and 3 respectively.

研究动机与目标

• 研究无限维量子系统是否能在非局部游戏中实现强于有限维系统的非局域关联。
• 解决一个开放问题：无限维纠缠是否在非局域性方面提供可测量的优势，超越有限维系统所能达到的极限。
• 构造一个具有无限问题集或答案集的非局部游戏，使得使用无限维纠缠的量子策略优于所有有限维量子策略。

提出的方法

• 作者设计了一个具有无限维问题集和答案集的非局部游戏，利用算子代数和C*-代数的结构。
• 他们定义了一个使用无限维纠缠态及作用于不可数维希尔伯特空间上的可观测量的量子策略。
• 该游戏被构造为使得量子值超过经典值以及所有有限维量子值。
• 证明依赖于在无限维希尔伯特空间上存在一个C*-代数的非平凡表示，从而确保该策略的成功概率严格高于任何有限维对应策略。
• 分析使用了泛函分析和非交换概率的工具，以界定量子值并将其与有限维界限进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有无限问题集或答案集的非局部游戏中，无限维量子关联是否能够超越有限维量子关联？
• RQ2 是否存在一个非局部游戏，使得使用无限维纠缠的量子值严格大于使用有限维纠缠所能达到的量子值的上确界？
• RQ3 量子系统的何种结构特性使得无限维纠缠能够产生强于有限维系统的非局域关联？

主要发现

• 存在一个具有无限问题集和答案集的非局部游戏，其量子值超过所有有限维量子值的上确界。
• 无限维量子策略的成功概率严格高于任何有限维策略，证明了量子关联强度的分离。
• 该结果依赖于在无限维希尔伯特空间上存在一个C*-代数的非平凡表示，从而实现了更强的非局域关联。
• 该证明确立了无限维纠缠在非局域性方面提供了超越有限维系统所能实现的非平凡优势。
• 该构造表明，在无限维设定下，量子关联集合严格大于有限维量子关联的闭包。