[论文解读] Sequential optimal selection of a single-qubit gate and its relation to barren plateau in parameterized quantum circuits

Kaito Wada, Rudy Raymond+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文提出一种用于参数化量子线路（PQC）的序列优化算法，通过动态选择最优单量子比特门来最小化代价函数，且无需使用梯度。该方法利用对略微修改后的线路的期望值进行矩阵分解，实现了高效的结构优化，并严格建立了序列方法与基于梯度的优化之间的联系，证明当线路深度为 O(log n) 时，对于局部可观测量可避免 barren plateaus。该方法在最多 12 量子比特的体系中成功实现了基态能量优化。

ABSTRACT

We propose an algorithm for variational quantum algorithms (VQAs) to optimize the structure of parameterized quantum circuits (PQCs) efficiently. The algorithm optimizes the PQC structure on-the-fly in VQA by sequentially replacing a single-qubit gate with the optimal one to minimize the objective function. To directly find the optimal gate, our method uses the factorization of matrices whose elements are evaluated on a set of the slightly-modified circuits. The matrix factorization enables us to not only unify the existing sequential methods for further extension but also provide rigorous proofs of their limitation and potential in comparison with conventional gradient-based optimizers. Firstly, when the circuits are sufficiently deep, the sequential methods encounter a barren plateau that the spectrum of the matrix concentrates on a single value exponentially fast with respect to the number of qubits. Secondly, if the objective functions are local observables, they can avoid barren plateaus as long as the depth of the n-qubit PQCs is $O(\log{n})$. Although the family of these optimizers does not directly employ gradients of the objective function, our results establish their connection with conventional optimizations providing a consistent picture of the barren plateau. We also perform numerical experiments showing the advantages over conventional VQAs and confirm the successful optimization getting over the barren plateau in the ground state problem of the mixed field Ising model up to 12 qubits.

研究动机与目标

• 为解决启发式 ansatz 设计中的矛盾：深度足够以表达目标态，但又不至于过深而引发 barren plateaus。
• 开发一种序列化、无梯度的方法，通过实时选择最优单量子比特门来优化 PQC 的结构。
• 建立序列优化与基于梯度方法之间的理论联系，特别是关于 barren plateau 现象的关联。
• 证明当线路深度为 O(log n) 时，序列优化器可避免局部可观测量的 barren plateaus。
• 在混合场 Ising 模型的数值实验中，展示该方法优于传统 VQAs 的性能。

提出的方法

• 该方法利用从略微修改后的线路中计算出的期望值的矩阵分解，识别每一步的最优单量子比特门。
• 将优化问题表述为一个由代价函数对门参数的依赖关系导出的矩阵特征值问题。
• 通过评估由线路期望值构建的矩阵的谱特性，依次将一个单量子比特门替换为最优门。
• 通过提供具有严格数学基础的统一框架，将现有序列方法（如 Rotoselect 和 Fraxis）推广至更广范围。
• 通过利用单量子比特旋转的周期性与解析结构，避免使用梯度，实现对门轴的直接优化。
• 理论分析采用酉 t-设计与随机矩阵理论，评估在不同线路深度与可观测量下优化矩阵的谱特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当线路深度为量子比特数的对数级时，PQC 中的序列门优化是否能避免局部可观测量的 barren plateau 问题？
• RQ2 在收敛速度与可扩展性方面，序列门选择方法相较于基于梯度的优化器表现如何？
• RQ3 在 barren plateau 的背景下，序列优化与基于梯度优化之间存在何种理论关系？
• RQ4 能否通过对扰动线路的期望值进行矩阵分解，实现对 PQC 结构的高效、无梯度优化？
• RQ5 序列优化器在何种限制与条件下仍能有效避免 barren plateaus？

主要发现

• 当线路深度为 O(log n) 时，序列门优化可避免 barren plateaus，因为优化矩阵的谱不会集中于单一值。
• 该方法成功优化了 12 量子比特混合场 Ising 模型的基态能量，其能量误差低于传统 VQAs。
• 数值实验表明，该方法在优化初期阶段优于使用多种学习率的 Adam 基于梯度下降方法。
• 在深度线路中，FQS 矩阵谱的二阶矩随量子比特数呈指数增长，表明开始出现 barren plateau 行为。
• 理论分析证实，序列方法与基于梯度的优化在本质上存在联系，其性能受相同的 plateau 现象限制。
• 矩阵分解方法提供了一个严谨的框架，统一并扩展了现有序列优化器（如 Rotoselect 和 Fraxis）。