[论文解读] Serre weights for rank two unitary groups

Thomas Barnet-Lamb, Toby Gee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文提出了一组关于CM域上秩二酉群上自守形式相关的模$l$伽罗瓦表示的塞尔权的猜想，使用了[BLGG11]、[BLGG10]和[BLGGT10]中的高级提升技术。证明了任何具有分裂分歧且图像适当的不可约模形式表示，都是预测集合中每个权的模形式，且对$l$的分歧或惰性次数无任何限制，从而解决了先前工作中存在的关键组合与$p$-进霍奇理论障碍。

ABSTRACT

We study the weight part of (a generalisation of) Serre's conjecture for mod l Galois representations associated to automorphic representations on rank two unitary groups for odd primes l. We propose a conjectural set of Serre weights, agreeing with all conjectures in the literature, and under a mild assumption on the image of the mod l Galois representation we are able to show that any modular representation is modular of each conjectured weight. We make no assumptions on the ramification or inertial degrees of l. Our main innovation is to make use of the lifting techniques introduced in our recent papers.

研究动机与目标

• 将塞尔猜想的权部分推广至CM域上的秩二酉群，推广先前仅限于全实域且$l$-无分歧的成果。
• 解决早期方法的局限性，这些方法要求$l$-无分歧性和充分正则性，从而限制了模形式提升定理和Breuil-Mezard猜想的应用范围。
• 通过使用[BLGGT10]中的新提升定理，消除组合与$p$-进霍奇理论的复杂性，构造任意权的$l$-进提升。
• 建立一个统一且明确的塞尔权猜想集合，与文献中所有先前猜想一致，包括[BDJ10]、[Sch08]和[GHS11]。
• 在伽罗瓦图像满足温和假设下，证明预测权集合中的每个表示都是模形式的，从而为该类群证明了塞尔猜想权部分的强形式。

提出的方法

• 作者基于在$l$之上各素点处的局部伽罗瓦表示，将$W^{\text{explicit}}(\bar{r})$定义为[BDJ10]、[Sch08]和[GHS11]预测的并集，形成一个规范的塞尔权集合。
• 他们利用[BLGGT10]中的提升定理，构造在$l$之上各素点处具有指定局部性质的$l$-进伽罗瓦表示，包括特定的霍奇-泰特权重和分歧作用。
• 该构造依赖于酉群的自守提升定理，特别是利用变形环以及在$\mathcal{O}_L$上通用变形环的有限性。
• 他们应用基底变换和自守诱导技术，将不同域上的表示关联起来，通过在$F_1$、$F_2$和$F$等扩张上构建自守表示链，传播模形式性。
• 关键创新在于，用更一般的提升替代了潜在的Barsotti-Tate提升（如[Gee10b]中所用），避免了正则性条件的需求，简化了变形理论。
• 他们证明了通用变形环$R_{\mathcal{S}}^{\text{univ}}$是$\mathcal{O}_L$上的有限模，且克鲁尔维数至少为1，从而保证存在一个$\overline{\mathbb{Q}}_l$-点，由此产生所需的$l$-进提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于CM域上秩二酉群上的模$l$伽罗瓦表示，正确的塞尔权集合是什么？该集合应推广先前的猜想。
• RQ2 是否可以在不假设$l$处正则性或无分歧性的前提下，证明塞尔猜想的权部分对所有权成立？
• RQ3 如何调整提升技术以构造任意权的$l$-进提升，从而避免早期方法中组合与$p$-进霍奇理论的复杂性？
• RQ4 在温和的图像条件下，能否为预测权集合中的每个权建立表示的模形式性？
• RQ5 通过使用外形式（即酉群）而非内形式，能否避免全实域中单位带来的障碍？

主要发现

• 本文构造了一个规范且明确的塞尔权集合$W^{\text{explicit}}(\bar{r})$，统一并推广了文献中关于秩二酉群的所有先前猜想。
• 在假设$\bar{r}(G_{F(\zeta_l)})$为适当的前提下，本文证明了$\bar{r}$是$W^{\text{explicit}}(\bar{r})$中每个权$a$的模形式，从而在该设定下确立了塞尔猜想权部分的完整形式。
• 该结果对全实域$F^+$中$l$的分歧或惰性次数无任何限制，克服了早期工作的主要局限。
• 当$l \geq 7$时，适当性条件可被标准Taylor-Wiles假设（即$\bar{r}|_{G_{F(\zeta_l)}}$的不可约性）所取代，从而简化了假设条件。
• 作者证明了变形环$R_{\mathcal{S}}^{\text{univ}}$是$\mathcal{O}_L$上的有限模，且克鲁尔维数至少为1，从而保证存在一个$\overline{\mathbb{Q}}_l$-点，该点可产生所需的$l$-进提升。
• 该方法成功避免了潜在Barsotti-Tate提升的需求，消除了对正则性条件的依赖，实现了对所有权的统一处理。