[论文解读] Severi varieties and self rational maps of K3 surfaces

Thomas Dedieu|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文研究复射影K3曲面上Picard群为ℤ的主导自有理映射，重点关注代数度与拓扑度、分支点及例外除子之间的相互作用。研究证明，对于度数为4的映射，若例外除子的深度为1，则被爆破的点数有界于24；若深度为2，则仅能爆破一个点，从而对这类映射施加了强有力的数值约束。

ABSTRACT

Self-rational maps of generic algebraic K3 surfaces are conjectured to be trivial. We relate this conjecture to a conjecture concerning the irreducibility of the universal Severi varieties parametrizing nodal curves of given genus and degree lying on some K3 surface. We also establish a number of numerical constraints satisfied by such non trivial rational maps, that is of topological degree >1.

研究动机与目标

• 研究Picard群为ℤ的K3曲面上主导自有理映射的存在性及其几何性质。
• 分析此类映射的拓扑度与代数度及其对曲面几何的影响。
• 约束消除不定点后产生的例外曲线的数量与构型。
• 检验猜想1的有效性，该猜想认为对于一般K3曲面，当度数大于1时，不存在此类映射。
• 利用陈类与分支数据推导出数值障碍，以排除或限制可能的自有理映射。

提出的方法

• 通过爆破方法消除不定点，将有理映射φ:S⇢S转化为一个态射φ̃:S̃→S。
• 应用全纯动力系统框架，将映射的度数与分支除子R关联到余切丛的陈类。
• 利用涉及Ω_S̃与Ω_S的拉回的恰当序列，以deg(φ)和例外除子的贡献表示c₂(Ω_S̃)。
• 分析φ̃的微分dφ̃在例外曲线E_i上的限制，以界定每条E_i上线丛L_i的度数。
• 利用法丛恰当序列与分支条件，推导出deg(K_i) ≤ -2 且 deg(L_i) ≥ 1，从而得出c₂(L_i) ≤ -2。
• 应用公式c₂(Ω_S̃) = deg(φ)·c₂(Ω_S) + Σc₂(L_i) 以及已知值c₂(Ω_S̃) = 24 + p，推导出对p的约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 Picard群为ℤ的K3曲面能否允许存在度数l > 1的主导自有理映射？
• RQ2 例外除子的结构对被爆破点的数量与构型施加了何种约束？
• RQ3 在K3曲面背景下，此类映射的代数度与拓扑度之间有何关系？
• RQ4 在爆破曲面上的陈类计算中，会产生何种数值障碍？
• RQ5 是否存在Picard群为ℤ的K3曲面支持度数为4或9的自有理映射？其可能的l值为何？

主要发现

• 对于Picard群为ℤ的K3曲面上度数为4的自有理映射φ，若例外除子深度为1，则被爆破点数p满足p ≤ 24。
• 若例外除子深度为2，则无论度数如何，仅能爆破一个点。
• 当例外曲线互不相交且映射深度为1时，不等式p ≤ 8(deg(φ) - 1)成立。
• 对于度数为4的映射，可能的l值（代数度）受到限制：亏格为2时，l = 6,8,10,…；亏格为3,4,5时，l = 6,10,14,…
• 对于度数为9的映射，最小可能的l值为：亏格为2和3时，l = 5,7,9,…；亏格为4时，l = 9,15,21,…；亏格为5时，l = 5,11,13,19,…
• 结果表明，当deg(φ) = 4时，命题3.6的假设始终成立，表明此类映射受到强烈的数值约束。