[论文解读] Shape Theory. III. Comparative Theory of Backgound Independence

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Relativity and Gravitational Theory参考文献 63被引用 14

一句话总结

本文通过将形状（及其尺度）理论扩展至局部通过正则约束与可观测量解决时间之谜，提出了一种相对论物理中背景独立性的比较理论。它确立了豪斯多夫仿紧化约化配置空间可实现全局一致性，从而提出一种选择原则，偏好平坦空间关系模型而非仿射或射影模型。

ABSTRACT

Background Independence is the modern form of the relational side of the Absolute versus Relational Debate. Difficulties with its implementation form the Problem of Time. Its 9 facets - Isham and Kuchař's conceptual classification - correspond to 9 aspects of Background Independence as per the Author's classical-or-quantum theory-independent upgrade. 8 are local. The most significant arena for these is brackets algebra, the first 5 involving canonical constraints as follows. 1) Handling instantaneous gauge invariance. 2) Resolving its apparent timelessness. 3) Closure of 1-2)'s constraints. 4) Expression in terms of observables: commutants with constraints. 5) Reconstructing spacetime from constraint algebra rigidity. 6) is the spacetime counterpart of 2-4), and 7) is spacetime's foliation independence. 8) handles nonuniqueness. 9) renders 1-8) globally sound. We show how Shape(-and-Scale) Theory's mastery of 1) for N-point-particle models extends by placing a mechanics over shape(-and-scale) space to model 1-4). For flat-space Euclidean and similarity models, this gives a local resolution of the Problem of Time. This is moreover consistent within a global treatment if its reduced spaces are Hausdorff paracompact, which admit a Shrinking Lemma. GR's superspace is also Hausdorff paracompact. While 1-9) are poseable for all relativistic theories, and 1-4), 8), 9) for all theories - to all levels of mathematical structure: affine, projective, conformal, topological manifold, topological space... - resolution is on a case-by-case basis. Among N-point-particle theories, then, Article II's Hausdorff paracompact reduced space guarantee selects a very small subset. In particular, affine and projective shapes are precluded and conceiving in terms of shapes in space is preferred over doing so in spacetime. A substantial Selection Principle for Comparative Background Independence is thus born.

研究动机与目标

• 通过将伊沙姆与库查尔提出的背景独立性九个方面统一为一个连贯的框架，以解决时间之谜。
• 证明形状（及其尺度）力学能够通过处理前四个方面——规范不变性、无时间性、约束闭合性与可观测量表述——实现背景独立性的局部解决。
• 通过豪斯多夫仿紧化约化空间建立全局一致性条件，实现背景独立性各方面的全局一致性。
• 基于拓扑与几何约束，识别出一种选择原则，偏好平坦空间模型（欧几里得与相似性）而非仿射或射影几何。
• 通过识别广义相对论的形状（及其尺度）空间类比，并展示通过约束代数刚性实现时空重建，将该框架扩展至广义相对论。

提出的方法

• 将形状（及其尺度）理论适配为在关系配置空间上建模力学，将形状（及其尺度）空间视为基本配置空间。
• 应用正则约束形式化方法实现背景独立性的第1至第4个方面：处理瞬时规范不变性、解决无时间性、确保约束闭合性，并通过换位子表达可观测量。
• 利用括号代数与李理论结构（流、导子、积分不变量）分析约束动力学与可观测量。
• 运用刚性定理，从约束代数重建局部时空，尤其在相似性与欧几里得 $N$-点粒子模型的语境下。
• 通过将超空间识别为豪斯多夫仿紧空间，将框架扩展至广义相对论，利用收缩引理实现全局一致性。
• 应用现代整体分析工具——层、上同调、分层流形与纤维丛——以解决时间之谜与量子推广中的非唯一性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将背景独立性的九个方面统一为一个在经典与量子理论中均连贯且无冲突的框架？
• RQ2 形状（及其尺度）力学在何种意义上通过处理背景独立性的前四个方面解决了局部时间之谜？
• RQ3 约化配置空间的何种拓扑与几何条件可确保背景独立性的全局一致性，特别是在时间之谜的语境下？
• RQ4 为何在背景独立性的语境中，平坦空间模型（欧几里得与相似性）相较于仿射或射影模型具有唯一优越性？
• RQ5 如何通过约束代数刚性实现时空重建，使其与正则形式化和时空形式化均一致？

主要发现

• 形状（及其尺度）力学通过将力学置于形状（及其尺度）空间上，成功解决了背景独立性的前四个方面——规范不变性、无时间性、约束闭合性与可观测量表述。
• 约化配置空间必须为豪斯多夫仿紧化的条件，确保了背景独立性的全局一致性，从而提供一种选择原则，排除了仿射与射影模型。
• 对于 $N$-点粒子系统，仅平坦空间模型（欧几里得与相似性）满足豪斯多夫仿紧化条件，使其在一致的关系理论中具有唯一可行性。
• 广义相对论的超空间被证明为豪斯多夫仿紧化，使得相同的全局一致性框架可应用于广义相对论。
• 在无先验时空几何的前提下，可通过约束代数刚性重建时空，证实了关系时空构造的可行性。
• 该框架识别出 $d$-环面 $b{T}^d$、$d$-球面 $b{S}^d$ 与 $b{RP}^d$ 作为替代的关系模型，但仅平坦空间模型满足全部一致性条件。