[论文解读] Sharp Adams and Moser-Trudinger inequalities on R^n and other spaces of infinite measure

Luigi Fontana, Carlo Morpurgo|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^n$ 及其他无限测度空间上，为 Riesz 位势和高阶梯度建立了精确的 Adams 和 Moser-Trudinger 不等式，扩展了以往仅适用于紧支集且测度一致有界的函数的结果。关键贡献在于提出了一套通用框架，通过新颖的位势空间与测度论技术，实现了对 $W^{\alpha, n/\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 和双曲空间中临界 Sobolev 嵌入的最优常数推导，即使在非整数 $\alpha$ 情况下也成立。

ABSTRACT

We derive sharp Adams inequalities for the Riesz and other potentials of functions with arbitrary compact support in R^n. Up to now such results were only known for a class of functions whose supports have uniformly bounded measure. We obtain several sharp Moser-Trudinger inequalities for the critical Sobolev space W^{d,n/d} on R^n and on the hyperbolic space H^n The only known results so far are for d= 1, both on R^n and H^n, and for d = 2 on R^n. Other sharp inequalities are obtained for general elliptic operators with constant coefficients and for trace type Borel measures. We introduce critical potential spaces on which our results can be extended to noninteger values of d.

研究动机与目标

• 将精确的 Adams 和 Moser-Trudinger 不等式推广至 $\mathbb{R}^n$ 中具有任意紧支集的函数，克服以往对测度一致有界支集的限制。
• 推导临界 Sobolev 空间 $W^{\alpha, n/\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 和双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 的最优常数，包括非整数 $\alpha$ 的情形。
• 为无限测度空间上的常系数椭圆微分算子及迹型 Borel 测度建立精确不等式。
• 引入并利用 $\mathbb{R}^n$ 上的临界位势空间，将结果推广至非整数阶导数。
• 将现有精确不等式推广至任意测度空间与无限定义域，其中若未谨慎控制，则常数的统一性将丧失。

提出的方法

• 通过 Riesz 位势 $I_\alpha * f(x) = \int_{\mathbb{R}^n} |x-y|^{\alpha-n} f(y) \, dy$ 和 O’Neil 引理由 $L^p$ 类型估计推导出精确的 Adams 型不等式。
• 采用一种新颖的测度论论证，涉及水平集 $E_\lambda = \{y : F(y) \leq \lambda\}$，并通过 $|E_\lambda| \leq C(|\lambda| + d^*)$ 对其测度进行估计。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 上引入临界位势空间以处理非整数 $\alpha$，从而实现对精确不等式在非整数阶导数下的推广。
• 基于 $f$ 在 $L^{n/\alpha}$ 中的对偶范数及 Bessel 位势理论中的最优常数 $c_\alpha$，采用对偶论证方法。
• 应用一种改进的一维估计技术，控制 $y_1, y_2 \in E_\lambda$ 时的差值 $y_2 - y_1$，当 $y_1 > C_6(|\lambda| + d^*)$ 时，确保统一性。
• 建立关键不等式 $\int_{\mathbb{R}^n} \exp\left( \frac{1}{|B_1|} |I_\alpha * f(x)|^{n/(n-\alpha)} \right) dx \leq C$，其中 $\|f\|_{L^{n/\alpha}} \leq 1$，且最优常数为 $|B_1|^{-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $f$ 的支集具有任意（可能无界）测度时，$W^{\alpha, n/\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 中 Adams 不等式的最优常数是多少？
• RQ2 能否将精确的 Moser-Trudinger 不等式推广至 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{H}^n$ 上的非整数 $\alpha$？
• RQ3 如何为无限测度空间上具有常系数的广义椭圆微分算子建立精确不等式？
• RQ4 临界位势空间在将 Adams 型不等式推广至非整数阶导数中起到何种作用？
• RQ5 能否为迹型 Borel 测度和一般无限测度空间推导出精确的指数型不等式？

主要发现

• 本文在 $\mathbb{R}^n$ 上为 Riesz 位势建立了精确的 Adams 不等式，适用于任意紧支集的 $f$，消除了以往对测度一致有界支集的限制。
• 当 $\alpha$ 为偶数时，Adams 不等式的最优常数为 $\gamma_{n,\alpha} = c_\alpha^{-n/(n-\alpha)} / |B_1|$；当 $\alpha$ 为奇数时，为 $\big((n-\alpha-1)c_{\alpha+1}\big)^{-n/(n-\alpha)} / |B_1|$，其中 $|B_1| = \omega_{n-1}/n$。
• 为 $W^{\alpha, n/\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 和 $\mathbb{H}^n$ 推导出精确的 Moser-Trudinger 不等式，适用于所有 $\alpha > 0$，包括非整数 $\alpha$，扩展了已知的 $\alpha=1$ 和 $\alpha=2$ 的结果。
• 作者构建了 $\mathbb{R}^n$ 上的临界位势空间，使得精确不等式可推广至非整数 $\alpha$，从而实现对高阶与分数阶导数的统一处理。
• 对于具有无限测度的一般测度空间，本文证明了 Adams 不等式的最优常数为 $|B_1|^{-1}$，若改用更大的常数，则统一性将丧失。
• 本文证明了 $\int_{\mathbb{R}^n} \exp\left( \frac{1}{|B_1|} |I_\alpha * f(x)|^{n/(n-\alpha)} \right) dx \leq C$，其中 $\|f\|_{L^{n/\alpha}} \leq 1$，且 $C$ 与 $f$ 无关，该常数为最优。