[论文解读] Sharp constants and optimizers for a class of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities

Nguyen Lam, Guozhen Lu|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文通过一种新颖的变换方法，为一大类 Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN) 不等式建立了精确的常数和显式极值函数。对于 $0 < a < 1$ 的情形，证明了极值函数的存在性与对称性；在特殊情形 $r = p\frac{q-1}{p-1}$ 和 $q = p\frac{r-1}{p-1}$ 下，给出了闭式极值函数；并针对 $a=1$ 的情形，对所有 $\mu \geq 0$ 提供了精确的极值函数，解决了加权 Sobolev 型不等式中长期存在的关于精确常数与极值函数的问题。

ABSTRACT

In this paper, we will use a suitable tranform to investigate the sharp constants and optimizers for the following Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities for a wide range of parameters $(r,p,q,s,μ,σ)$ and $0\leq a\leq1$: \begin{equation} \left({\displaystyle\int} \left\vert u ight\vert ^{r}\frac{dx}{\left\vert x ight\vert ^{s}} ight)^{1/r}\leq C\left( {\displaystyle\int} \left\vert abla u ight\vert ^{p}\frac{dx}{\left\vert x ight\vert ^μ% } ight) ^{a/p}\left({\displaystyle\int} \left\vert u ight\vert ^{q}\frac{dx}{\left\vert x ight\vert ^σ% } ight) ^{\left( 1-a ight) /q}. \end{equation} We are able to compute the best constants and the explicit forms of the extremal functions in numerous cases. When $0

研究动机与目标

• 确定一类具有广义参数的 Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN) 不等式中最佳常数。
• 识别这些不等式在临界参数区域中的极值函数（即极值函数）的显式形式。
• 在 $0 < a < 1$ 的条件下，建立极值函数的存在性与径向对称性。
• 通过为所有 $\mu \geq 0$ 提供精确极值函数，解决 $a = 1$ 的情形，从而扩展了关于 Hardy-Sobolev 与 Sobolev 不等式已知结果的范围。
• 发展一种基于变换的方法，以简化加权 CKN 不等式中对称性与对称性破缺的研究。

提出的方法

• 应用适当的变量替换与变换 $T_{N,d,p}$，将一般 CKN 不等式转化为具有修正权重的形式，从而实现对称性分析。
• 该方法利用变换后不等式在径向重排与范数保持缩放下的不变性。
• 作者采用对偶性论证与缩放技术，推导出 $a=1$ 情形下的精确常数，推广了已知的 Sobolev 与 Hardy-Sobolev 不等式结果。
• 对于 $r = p\frac{q-1}{p-1}$ 与 $q = p\frac{r-1}{p-1}$ 的情形，极值函数以 Del Pino 与 Dolbeault 的方法为基础被显式构造，得到闭式表达式。
• 通过变换前后不等式之间的比较论证，证明了 $\|\cdot\|$-径向极值函数的存在性，依赖于变换的范数行为。
• 本文建立了一个对称性传播结果：若在变换空间中存在极值函数，则在原空间中也存在极值函数，且在变换下保持径向对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广泛参数范围 $(r,p,q,s,\mu,\sigma)$ 与 $0 \leq a \leq 1$ 下，Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的精确常数是什么？
• RQ2 当 $a=1$ 时，极值函数（即极值函数）的显式形式是什么？其在哪些参数范围内存在？
• RQ3 在何种条件下，$0 < a < 1$ 的极值函数存在并具有径向对称性？
• RQ4 能否通过变换方法在不同加权范数之间保持或传递极值函数的对称性？
• RQ5 如何利用变换 $T_{N,d,p}$ 降低 CKN 不等式的复杂性，并简化对极值函数的分析？

主要发现

• 对于 $a=1$ 的情形，本文为所有 $\mu \geq 0$ 提供了精确的极值函数，推广了已知的 Hardy-Sobolev 与 Sobolev 不等式结果。
• 在特殊情形 $r = p\frac{q-1}{p-1}$ 与 $q = p\frac{r-1}{p-1}$ 下，极值函数被显式构造，并被证明具有形式 $u_{c,\lambda}(x) = c(\lambda + |x|^{\frac{p-s}{p-1}})^{-\frac{N-p}{p-s}}$，与 Euler-Lagrange 方程的已知解一致。
• 在广泛参数条件下（包括 $\frac{N-p}{N-p-\mu} > 1$），证明了 $0 < a < 1$ 情形下极值函数的存在性与径向对称性。
• 变换 $T_{N,d,p}$ 保持了不等式的结构，并允许将变换空间中的径向极值函数传递至原空间，从而证明了对称性传播。
• 通过缩放与对称性论证，推导出 $a=1$ 情形下的精确常数，将 Aubin、Talenti 与 Beckner 的经典结果推广至加权范数情形。
• 本文证明：若在变换空间中存在 $\|\cdot\|$-径向极值函数，则在原空间中也存在 $\|\cdot\|$-径向极值函数，从而在一般加权条件下实现了对称性分析。