[论文解读] Sheafification of linear functors

Fabio Tonini|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文引入了一个广义的层化函子，其扩展了射影概族上分次模的经典层化函子以及群概族的Tannaka对偶性。该文构造了Yoneda型函子 $Ω^*$ 的左伴随函子，该函子将拟相干层代数上的 lax 单位线性函子映射到堆上的拟相干层代数，证明了在解析性质条件下其完全忠实性与本质像的刻画。

ABSTRACT

We introduce ``sheafification'' functors from categories of (lax monoidal) linear functors to categories of quasi-coherent sheaves (of algebras) of stacks. They generalize the homogeneous sheafification of graded modules for projective schemes.

研究动机与目标

• 将射影概族上分次模的经典层化与群概族的Tannaka对偶性统一于同一框架下。
• 将Yoneda函子 $Ω^*$ 的左伴随定义为层化函子，推广分次模的齐次层化。
• 建立Yoneda函子 $Ω^*$ 完全忠实且存在左伴随的条件。
• 在堆具有解析性质时，以左正合函子的形式刻画 $Ω^*$ 的本质像。
• 在Tannaka对偶的背景下，将拟相干层代数与 lax 单位函子之间的对应关系加以推广。

提出的方法

• 定义Yoneda函子 $Ω^*:\operatorname{QCoh}(\mathcal{X}_A) \to \textup{L}_R(\mathcal{C},A)$，对每个层 $\mathcal{F}$，映射为 $\mathcal{E} \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{X}}(\pi^*\mathcal{E}, \mathcal{F})$，其中 $\mathcal{C}$ 为固定的一类层。
• 当 $\mathcal{C}$ 为本质上小范畴时，构造 $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}}:\textup{L}_R(\mathcal{C},A) \to \operatorname{QCoh}(\mathcal{X}_A)$ 作为 $\u03a9^*$ 的左伴随函子。
• 证明 $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}}$ 是完全忠实的，且 $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}} \circ \u03a9^*$ 同构于 $\operatorname{QCoh}(\mathcal{X}_A)$ 上的恒等函子，从而推广经典层化。
• 通过Yoneda构造，建立 $\mathcal{X}$ 上拟相干层代数与 lax 单位函子之间的对应关系。
• 利用 $\mathcal{X} = \operatorname{B}_R G$ 的解析性质，证明 $\u03a9^*$ 限制在 $\operatorname{QAlg}^G A$ 上时，其取值于 $\operatorname{ML}_R(\mathcal{C},A)$ 的函子为完全忠实，且其本质像由在 $\operatorname{Vect}^G R$ 中的短正合序列上左正合的函子构成。
• 利用群概族 $G$ 上的对偶性与平坦性条件，确保 $\mathcal{C} = \operatorname{Vect}^G R$ 生成 $\operatorname{QCoh}(\operatorname{B}_R G)$，从而支持伴随函子的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 Yoneda函子 $\u03a9^*$ 从拟相干层到线性函子是否具有左伴随函子，从而推广经典层化？
• RQ2 在何种条件下 $\u03a9^*$ 是完全忠实的，且其本质像可由左正合性刻画？
• RQ3 拟相干层代数与 lax 单位函子之间的对应关系是否可超越射影情形加以推广？
• RQ4 当 $\mathcal{X}$ 为平坦仿射群概族 $G$ 的分类堆 $\operatorname{B}_R G$ 时，层化函子的行为如何？
• RQ5 堆 $\mathcal{X}$ 的解析性质与良好定义的层化函子的存在性之间的确切关系为何？

主要发现

• 当 $\mathcal{C}$ 为本质上小范畴时，层化函子 $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}}$ 作为 $\u03a9^*$ 的左伴随函子存在，推广了经典层化。
• 当 $\mathcal{X}$ 为射影概族时，$\u03a9^*$ 与 Serre 函子 $\Gamma_*$ 重合，且 $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}}$ 恢复了分次模的齐次层化。
• 当 $\mathcal{X} = \operatorname{B}_R G$ 且 $G$ 为平坦概族，$R[G]$ 为 $\operatorname{Vect}(\operatorname{B}_R G)$ 中 $G$-余模的直接极限时，解析性质成立，从而确保层化函子良好定义。
• $\u03a9^*$ 在 $\operatorname{QAlg}^G A$ 上的本质像恰好由 $\operatorname{ML}_R(\mathcal{C},A)$ 中在 $\operatorname{Vect}^G R$ 的短正合序列上左正合的函子构成，在解析性质下保持完全忠实。
• 当 $G$ 为线性半单时，函子 $M \mapsto (-\otimes_R M)^G$ 从 $\operatorname{Mod}^G R$ 到 $\operatorname{QAdd}^G A$ 是完全忠实的，且与 $\u03a9^*$ 的像等价，从而将Tannaka对偶性推广至 lax 单位设置。
• 该构造建立了自然同构 $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}} \circ \u03a9^* \cong \text{id}_{\operatorname{QCoh}(\mathcal{X}_A)}$，确认层化函子可同构地恢复原始层。